Questão 8 - lista 1


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4 months ago by
Anonymous
Se alguém puder ajudar! Fiz da seguinte forma: tomei g em G, então o(g) = m e m|2k, onde |G| = 2k, para algum k inteiro positivo. Daí existe d tal que md = 2k. Então m = 2k/d. O problema é que dessa forma eu precisaria garantir que d|k e com isso g^{k/d} teria ordem 2, mas não consegui. Esse jeito tá certo?

Valeu aê!
Community: ALGEBRA I -2018
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Oi! Eu fiz assim: Existe o elemento neutro que tem ordem 1, então vai sobrar uma quantidade ímpar de elementos (pois o número de elementos de G é par). Daí, vamos pegar os elementos de g que tem ordem maior do que 2, nós vamos ter que |g| = |g^(-1)| > 2, então eles estarão sempre em par. O que nos dá um número par + o elemento neutro. Fazendo sobrar um número ímpar de elementos. Logo, vai ter pelo menos um elemento que não faz par com nenhum elemento, então ele é o inverso dele mesmo, portanto existe g pertencente a G tq |g|= 2.
Tô no celular, não deu pra escrever certinho, vê se ficou claro.
written 4 months ago by Natália Porta  
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Então... até pensei em fazer isso mesmo de prévia. O problema é que não sei se essa seria uma maneira formal o suficiente. Mas de qualquer forma muito obrigado.
written 4 months ago by Claudinei Caetano Júnior  

1 Answer


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4 months ago by

Eu fiz assim,

|G|= 2n, para n > 0

Peguei g pertencente a G, e sabemos que n|2n, ai por uma proposição

o(g^n)= (2n)/n = 2

Quando você diz: $o\left(g^{^n}\right)$o(gn). Não podemos afirmar que existe um elemento $g$g $\in G$G de ordem $n$n, e isso é hipótese da preposição. Veja como o professor expôs em aula:
Se  $g$g $\in G$G tem ordem finita, digamos $n$n, e $d\backslash n$d\n, i.e.,  $n\backslash d$n\d $\in$  $Z$Z , então  $o\left(g^{^d}\right)=\frac{n}{d}$o(gd)=nd
written 4 months ago by Manoel Netto  
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