Resolução da questão 2 da P1


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3 months ago by

Pessoal, na hora da prova não consegui ter a ideia pra resolver essa questão, mas com dicas das pessoas e pensando melhor eu cheguei nessa resolução (possivelmente inacabada). Críticas? Sugestões? O que falta?

Suponha, por abs., que exista \( X \subset \mathbb{R} \) não enumerável e bem ordenado (com a ordem usual).

Dica: na ordem usual dos reais, dados \(x_1 < x_2\), existe \(q\) racional tal que \( x_1 < q < x_2\).

Considere a função \( \phi : X \to \mathbb{Q} \), \( x \mapsto q_x \) tal que \(q_x\) é o racional entre \(x\) e \( \min\{ y \in X : y > x\}\).

Tal mínimo sempre existe (pela boa ordem) e dados \( x_1 \neq x_2\), se \( x_1 < x_2\) (sem perda de generalidade), então \(q_{x_1} < q_{x_2} \), já que

\[ x_1 < q_{x_1} < \min\{ y \in X : y > x_1\} \leq x_2 < q_{x_2} \]

Logo, \( \phi \) é injetora e, (editado) portanto, existe uma bijeção entre \(X\) e \(\phi(X) \subset \mathbb{Q}\), logo \(X\) é enumerável (absurdo).

2 Answers


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3 months ago by
Só tem um errinho ali: "não conseguiríamos uma injeção de \(X\) nos reais". A conclusão, na verdade, é que \(\phi\) é bijeção entre \(X\) e \(\phi(X)\), mas \(\phi(X)\subset \mathbb{Q}\) e portanto é enumerável, logo \(X\) é enumerável. A injeção você consegue sim (até porque \(X\subset\mathbb{R}\) )
Ahhh, realmente. Valeu, rapaz. Vou editar
written 3 months ago by Frederico Bianchini  
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3 months ago by
Oi,desculpe minha duvida é como garantir que o conjunto onde voçe pega o minimo é não vazio ,alem disso só como observação a função que voçê define é uma função de escolhe pois tem muitos racionais entre aqueles 2 números.
Também fiquei com essa dúvida um tempo depois de ter escrito. Peço ajuda pros universitários.
written 3 months ago by Frederico Bianchini  

Ahh, acho que eu já sei. Se existe \( x \in X\) tal que \( \{y \in X : y> x\}  = \emptyset\), então o conjunto \( \{y \in X : y\leq x\} = X \), então \( x = \max X\).

Mas daí eu posso só tirar o \(x\) do domínio da função e \(X \setminus \{\max X\}\ \) continua sendo não enumerável e ainda vale.

Então acho que o mais correto seria dividir em dois casos: quando \(X\) tem máximo e quando \(X\) não tem máximo.

Se existe tal máximo, então eu faço a mesma função saindo de \(X \setminus \{\max X\}\).

Se não existe tal máximo, então o conjunto \( \{y \in X : y>x\} \) vai ser diferente de vazio sempre.

written 3 months ago by Frederico Bianchini  
Pensando bem, no caso em que \( X\) tem máximo, se eu tirar esse máximo, talvez o conjunto que restou tenha outro máximo. Aí cai no mesmo problema.
written 3 months ago by Frederico Bianchini  
Não tem problema se \(x\) for o máximo de \(X\). Neste caso, a condição \(q_x<\min\{y\in X:y>x\}\) se torna vazia e só é tomado um \(q_x\) nos racionais tal que \(q_x> x\). A injetividade continua sendo garantida.

Edit: Independentemente de ter muitos racionais entre dois reais distintos, precisamos do axioma da escolha pra definir \(\phi\) se, e só se, \(X\) for não finito.
written 3 months ago by Matheus Duzi  
Ahh, acho que entendi. Muito obrigado, rapaz.
written 3 months ago by Frederico Bianchini  
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