Duvida de Exercicio


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8 weeks ago by
Ola, tem um exercicio que o professor passou na aula, e vi que tem na lista 5 tambem. É o exercicio 19.
Nao estou conseguindo provar a volta, alguem pode me dar alguma dica?
Community: ALGEBRA I -2018

1 Answer


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8 weeks ago by
Olá. Vamos resolver o exercício inteiro?
$\Leftarrow$ Como cada grupo quociente tem ordem prima, eles são cíclicos e, portanto, abelianos. Concluímos que G é solúvel.
$\Rightarrow$ Vamos começar com a seguinte afirmação:

Afirmação: Se um grupo G finito é abeliano e simples, então G é cíclico e possui ordem prima.

De fato, seja  $g\in G$gG diferente do elemento neutro. Então$\left\{e\right\}${e} é diferente do subgrupo gerado por $g$g. Como G é abeliano, o subgrupo gerado por  $g$g é normal em G. Sendo G simples, temos que o subgrupo gerado é igual ao grupo todo, isto é, G é cíclico.

Por outro lado, como G é finito e cíclico, para cada divisor  $d$d  de$\left|G\right|$|G|, existe um subgrupo cíclico de ordem  $d$d .  Mas G é simples. Segue que esse subgrupo, que é o subgrupo gerado por  $g^d$gd ou é G ou é trivial. Então  $d$d  ou é 1 ou é $\left|G\right|$|G| .Quer dizer, os únicos divisores de$\left|G\right|$|G| são 1 e $\left|G\right|$|G|, mostrando que $\left|G\right|$|G| é primo.

Hipótese: G é solúvel, isto é, G possui uma série abeliana normal (de modo informal, uma cadeia de subgrupos normais entre si com quocientes abelianos). A afirmação acima será usada para os quocientes. É claro que todo grupo possui uma série normal, a mais trivial possível, $\left\{e\right\}\triangleleft G${e}G. E você pode se perguntar se G é um grupo simples. Caso afirmativo, a hipótese nos garante que os quocientes (nesse caso só existe um) é abeliano. Então, pela afirmação, G é solúvel.

Mas e se G não for simples? Lembrem do caso  $S_4$S4. Começamos com  $\left\{e\right\}\triangleleft S_4${e}S4 , depois  $\left\{e\right\}\triangleleft A_4\triangleleft S_4${e}A4S4 ...não paramos até que  $\left\{e\right\}\triangleleft\left\{\left(12\right)\left(34\right)\right\}\triangleleft\left\{\left(12\right)\left(34\right),\left(13\right)\left(24\right)\left(14\right)\left(23\right)\right\}\triangleleft A_4\triangleleft S_4${e}{(12)(34)}{(12)(34),(13)(24)(14)(23)}A4S4 . Por quê paramos?

Porque cada grupo tinha índice 2 ou 3 no próximo grupo.
Assim, se os quocientes são simples, sendo abelianos (hipótese), pela razão que expliquei, serão cíclicos e de ordem prima. Se eles não são simples, então existe um subgrupo normal, digamos $\frac{N}{G_i}\triangleleft$NGi $\frac{G_{i+1}}{G_1}$Gi+1G1   , tal que   $G_i\triangleleft N\triangleleft G_{i+1}$GiNGi+1  . Então, quando cada quociente  $\frac{G_{i+1}}{G_i}$Gi+1Gi  é simples, não existem subgrupos normais de  $G_{i+1}$Gi+1 entre  $G_i$Gi e  $G_{i+1}$Gi+1 e a cadeia não poderá ser refinada.  Com isso, obtemos uma cadeia,  $\left\{e\right\}\triangleleft G_1\triangleleft\ldots\triangleleft G${e}G1⊲…⊲G tal que  $\frac{G_{i+1}}{G_i}$Gi+1Gi  é abeliano, simples e de ordem prima.
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Entendi, muito obrigada Manoel =D
Agora q percebi era a ida q nao tava conseguindo, mas de qualquer forma muito obrigada
written 8 weeks ago by Fernanda Yuka Ueno  
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Oi Manoel, tudo bem?

Pode me ajudar? Não entendi de onde veio que G é abeliano na ida.
written 7 weeks ago by Natália Porta  
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Oi, Natália. Eu editei minha resposta. Melhorei a redação e a maneira como coloquei as ideias. Quando eu disse G abeliano, era minha hipótese num caso trivial em que$\left\{e\right\}\triangleleft G${e}G. É claro que se pode refinar mais ainda e a hipótese, agora, seria os fatores serem abelianos.

Se os quocientes não possuem ordem prima, então eles possuem um subgrupo cíclico de ordem prima. Vamos adicionando esses grupos e refinando enquanto os quocientes tiverem ordem diferente de primo.
Como G é finito,
   $\left|G\right|=\left[G_r:G_{r-1}\right]\ldots\left[G_1:G_0\right]\ge2^r$|G|=[Gr:Gr1][G1:G0]2r   .
Assim, o número de fatores r é limitado por cima, digamos, pela ordem de G. Quer dizer, não podemos refinar infinitamente.
written 7 weeks ago by Manoel Netto  
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Muuuuuito obrigada pela explicação :)
written 7 weeks ago by Natália Porta  
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