Prova 2 Questão 5


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Um professor não muito bom de topologia começou a aula dizendo que ia provar o ``Teorema da continuidade uniforme'' para métricos compactos. Mariazinha levantou-se, disse ``Mas isso é uma aplicação simples do número de Lebesgue!'' e saiu da sala (criando o meme ``drop the pencil''). Mostre que Mariazinha tem razão.

Para os detalhistas: Mostre que em todo espaço métrico \(X\) onde toda cobertura tem um número de Lebesgue, então toda função contínua \(f: X \to Y\) é uniformemente contínua. Isto é:

\[\forall \varepsilon e > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall a, b \in X (d(x, y) < \delta \Rightarrow d'(f(x), f(y)) < \varepsilon)\]

onde \(d\) e \(d'\) são as métricas de \(X\) e \(Y\) respectivamente.
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