Dúvida sobre o exercício 5 da quinta lista


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11 weeks ago by
A equação implícita da curva (\(f(x,y)=0\)) deve ter como zeros apenas as raízes da curva parametrizada \(x(t)=t^2+t,y(t)=t^2-t+1\)?

2 Answers


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10 weeks ago by

Considere os polinômios \(F(x,y,t)=t^2+t-x\) e \(G(x,y,t)=t^2-t+1-y\). Vendo com polinômios na variável \(t\),  temos que existem  \(R,S \in K[x,y,t]\) tais que
\[R(x,y,t)\cdot (t^2+t-x)+S(x,y,t)\cdot(t^2-t+1-y)=f(x,y),\]

onde \(f(x,y)=Res(F,G,t)\). O que podemos concluir, a partir da igualdade acima, quando temos um ponto \((x_0,y_0)\) tal que  \(f(x_0,y_0)=0\)?

 

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Note que \(deg(R(x,y,t)),deg(S(x,y,t))\leq 1\). Repare que, se \(S\) e \(R\) não dependem de \(t\), temos \(R=-S\) e \(R=S\) a fim de que \(Res(F,G,t)\) não dependa de \(t\), mas tais polinômios não são identicamente nulos. Segue disso que \(deg(R(x,y,t))=1\) ou \(deg(S(x,y,t))= 1\). Então, temos os seguintes casos:
- \( R(x_0,y_0,t)=S(x_0,y_0,t)=0\); e, então \(t\) é a solução (única) das equações anteriores. 
- \( R(x_0,y_0,t)=0\) e \(S(x_0,y_0,t)\neq 0 \) ou vice-versa; assim, \(t\) é solução da equação de segundo grau \(t^2+t-x_0\)  ou \(t^2-t-y_0+1\) (dupla, contando ordem da raiz)...

written 10 weeks ago by Maíra Duran Baldissera  
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- \(R(x_0,y_0,t)\neq 0\) e \(S(x_0,y_0,t)\neq 0\); nesse caso, precisamos analisar os graus de \(R(x_0,y_0,t)\) e \(S(x_0,y_0,t)\). Por exemplo, se \(S\) tem grau \(1\)  e \(R\) grau zero, não existe combinação linear que anula \(t^3\); se ambos têm grau zero, recaímos no caso de \(R\) e \(S\) não dependerem de \(t\). Logo, \(deg(R(x_0,y_0,t))= deg(S(x_0,y_0,t))=1\). Escrevendo \(S(x_0,y_0,t)=s_1(x_0,y_0)+s_2(x_0,y_0)t\) e\(R(x_0,y_0,t)=r_1(x_0,y_0)-s_2(x_0,y_0)t\), se minhas contas estão certas -provavelmente não-, ou \(s_2=0\) -uma contradição-, ou \(y_0^2+y_0+y_0x_0+x_0-2=0\) e, nesse caso, qualquer \(t\) satisfaz a equação, mas é preciso checar se \((x_0,y_0)\) que satisfazem \(y_0^2+y_0+y_0x_0+x_0-2=0\) são raízes da resultante.
written 10 weeks ago by Maíra Duran Baldissera  
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Maira, a ideia de olhar a equação acima era apenas pra ver que pontos de \(f(x,y)=0\) estão intimamente relacionados a pontos na curva \(\{(x(t),y(t)) : t \in K\}\).
A análise que você está fazendo é importante, mas observe que os fatos relevantes seguem  diretamente do Teorema 7.3 da Aula 10.

written 10 weeks ago by Herivelto Borges  
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11 weeks ago by
Ah, já entendi. Como faço para apagar a pergunta?
Não, não entendi não, mas ainda quero saber se consigo apagar uma pergunta.
written 11 weeks ago by Maíra Duran Baldissera  
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