Lista 7 - Exercício 10


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8 months ago by
Pessoal, achamos que está faltando uma pequenina hipótese no enunciado do Exercício 10 da Lista 7, mais especificamente, a hipótese de que a curva \(\mathcal{C}\) é não-singular. Com essa hipótese adicional o exercício sai sem grandes problemas.

Apenas para ilustrarmos a necessidade da hipótese, se considerarmos \(\mathcal{C}: zy^2-x^3=0\), cuja Hessiana é \(\mathcal{H}_\mathcal{C}: xy^2=0\). Com a ajuda de nosso colega Magma Calculator, podemos ver que os pontos de intersecção entre as duas são \(P_1=(0:0:1)\) com multiplicidade 8 e \(P_2=(0:1:0)\) com multiplicidade 1. Veja que \(P_2\) é não-singular e satisfaz  \((\mathcal{C},T_{P_2}\mathcal{C})_{P_2} = 3\), logo temos um único ponto de inflexão ordinário, embora o enunciado previsse a existência de 9 tais pontos.

O raciocínio acima está correto?

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8 months ago by
Perfeitamente!

De uma modo geral, lembremos que, em qualquer curva, todo ponto singular está na interesecçâo da curva com a Hessiana.
Assim, do total de 3d(d-2) pontos de intersecção possíveis (contando multiplicidade), parte disso será consumido pelos pontos singulares. Logo, se houver ponto singular, nunca poderemos ter 3d(d-2) pontos de inflexao.
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