Ideia para exercício


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8 weeks ago by
Bom dia pessoal!

Estudando um pouco de álgebra eu me deparei com um exercício bem legal e daí eu fiz a seguinte modificação:

Seja \(f:\beta\omega\rightarrow\beta\omega\) um homomorfimo. Como mostrar que \(f\)  só pode ser ou a identidade ou a função nula?

Gostaram?
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É homeomorfismo ou homomorfismo? Eu procurei estrutura algébrica em \(\beta\omega\) e só encontrei esse link
written 8 weeks ago by Renan Maneli Mezabarba  
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É homomorfismo mesmo.Aliás deixa eu melhorar o enunciado hehehe
written 8 weeks ago by Dione Lara  
Valeu. É que eu não entendi qual a estrutura algébrica desse bicho aí pra dizer que algo é homomorfismo.
written 8 weeks ago by Renan Maneli Mezabarba  
Acho que esse não vai rolar heheh. Eu precisava de um homomorfismo de anéis que estendesse o naturais. Eu queria usar a mesma ideia para mostrar que se \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) é contínua e um homomorfismo de anéis então \(f\) é a identidade ou nula.
written 8 weeks ago by Dione Lara  
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Entendi. Mas acho que a treta já começa pois, em geral, pelo que eu vi na wiki, \(\beta\omega\) nem é grupo :p
written 8 weeks ago by Renan Maneli Mezabarba  
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Isso que dá agir no calor do momento hehe. Melhor sorte na próxima! XD
written 8 weeks ago by Dione Lara  
Para fazer esse exercício dos reais é bem bonitinho. Você mostra que isso vale para os inteiros, depois para os racionais e usando o fato de que qualquer número real pode ser escrito como sequência de racionais e usando a continuidade sai. Só que aí eu me lembrei de um teorema que diz que se temos duas funções continuas que são iguais em um denso então elas são iguais no conjunto todo. Caso o \(\beta\omega\) tivesse uma estrutura de anel que incluísse \(\omega\) daria algo bem interessante.
written 8 weeks ago by Dione Lara  
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Imagino que o que você tinha pensado não dê certo, mas ainda dá pra fazer essa pergunta.
\(\beta \mathbb{N}\) é um semigrupo com identidade, então um homomorfismo seria uma função que preserva a soma e a identidade.
written 8 weeks ago by Guga  
Acho que assim fica bão!

Para cada \(A\subset\omega\) e \(n\in\omega\) considere \(A-n=\{n\in\omega:k+n\in A\}\) e para cada \(F,G\in\beta\omega\) definimos \(F+G=\{A\subset\omega:\{n\in\omega:A-n\in F\}\in G\}\). Temos que o \(\beta\omega\) com essa soma é um monóide.

Seja \([n]=\{A\subset\omega:n\in A\}\) o ultrafiltro gerado por \(n\). Observe que \([1]+[1]=\{A\subset\omega:\{n\in\omega:A-n\in[1]\}\in[1]\}\Rightarrow 1\in\{n\in\omega:A-n\in[1]\}\Rightarrow\)
\( A-1\in[1]\Rightarrow 1\in\{k\in\omega:k+1\in A\}\Rightarrow 2=1+1\in A\Rightarrow[1]+[1]=[2]\).
Acho que dá pra mostrar por indução que \([n]+[1]=[n+1]\).

Com isso agora eu acho que daria pra fazer o seguinte: Se \(f:\beta\omega\rightarrow\beta\omega\) é contínua com \(f([0])=[0]\), \(f([1])=[1]\) e \(f(G+F)=G+F, \forall G,F\in\beta\omega\) então \(f\) é a identidade ou a função nula.
written 8 weeks ago by Dione Lara  
Mas aí vamos ter que ela é a identidade, pq essa f vai ser a identidade nos naturais (pela propriedade de preservar a soma), e ela admite uma única extensão contínua para \(\beta \mathbb{N}\), não?
written 8 weeks ago by Guga  
Só que se eu partir da identidade nos naturais eu não sei se garanto que e mesma função f para \(\beta\omega\). Tava pensando em restringir a \(f\) nos naturais e depois usar o teorema para densos que eu mencionei.
written 8 weeks ago by Dione Lara  
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Tome a \(f\) do último enunciado. Como \(f(0)=0,\, f(1)=1\) e \(f(n+1) = f(n)+1\), temos que a \(f\) restrita aos naturais é a identidade. A identidade em \(\beta \mathbb{N}\) é uma função contínua que estende a identidade nos naturais, assim como a própria \(f\), mas como a extensão é única, a \(f\) é a própria identidade.
written 8 weeks ago by Guga  
Eh verdade cara. Se a extensão é única isso já resolve.
written 8 weeks ago by Dione Lara  

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