Topologia final


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3 months ago by
Olá, pessoal!

O que estávamos tentando provar em sala hoje, em geral, não é válido. Então, é bom que não conseguimos provar! Mas aquilo que precisamos vale. O exercício pra vocês resolverem é o seguinte:

Sejam \(X,Y\) espaços topológicos, onde a topologia em \(Y\) é a topologia final da seta \(f:X\to Y\). Seja \(U\subset X\) um aberto saturado, isto é, \(f^{-1}(fU)=U\). Mostre que a topologia induzida em \(fU\) coincide com a topologia final da seta \(f:U\to fU\) (onde consideramos em \(U\) a topologia induzida).

Agora, basta aplicar para o nosso caso particular. Como vocês podem ver, a única coisa que esquecemos foi que \(\tilde U_i\) é saturado.

Bom feriado!
Community: SMA5942
Note que não precisa pedir que \(f\) é aberta. Mas, supondo \(f\) sobrejetora e aberta, você pode provar o fato sem pedir que \(U\) é aberto (ou seja, pedindo apenas que \(U\) é um subconjunto saturado).
written 3 months ago by Carlos Henrique Grossi Ferreira  
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E o que é a velhice: resolvendo estes exercícios agora, eu acabo de lembrar que já tinha feito isso há dois anos atrás (estava provando o mesmo fato em sala de aula e emperrei no mesmo lugar!).
written 3 months ago by Carlos Henrique Grossi Ferreira  

1 Answer


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3 months ago by
Colocando em \(Y\) a topologia final da seta \(f:X\to Y\), denotemos por \(\tau_{1}\) a topologia em \(fU\) induzida de \(Y\) e por \(\tau_2\) a topologia em \(fU\) induzida pela seta \(f|_{U}:U\to fU\). 
É claro que \(\tau_1 \subset \tau_2\), pois \(\tau_1\) é uma topologia em \(fU\) que faz a seta \(f|_{U}\) contínua. Tome \(V\in \tau_2 \). Por definição, \((f|_{U})^{-1}V \) é aberto em \(U\), e como \(U\) é aberto, é aberto em \(X\). Mas, \(V\subset fU \implies f^{-1}V \subset f^{-1}(fU) = U\), ou seja, temos \((f|_{U})^{-1}V = f^{-1}V\). Assim, \(f^{-1}V\) é aberto em \(X\), e portanto \(V\) é aberto em \(Y\) na topologia da seta \(f:X\to Y\). Em particular, \(V\in \tau_1\).

Note que se \(U\) não fosse aberto, mas a aplicação \(f:X\to Y\) fosse aberta e sobrejetiva, teríamos \((f|_{U})^{-1}V = U \cap W \), para algum \(W\subset X\) aberto. Colocando \(Z = fW\) (que agora é aberto em \(Y\)), temos \(Z\cap fU = f\left((f|_{U})^{-1}V\right) \cap fU = V \cap fU = V \), ou seja, \(V\in \tau_1 \).
Deixa eu perguntar uma coisa. Qual o contexto dessa pergunta? Eu perdi ultima aula. Meu chute é que estavam falando de espaços projetivos ou de recobrimentos. Podem me dar um sumário curto?
written 3 months ago by Hugo Cattarucci Botós  
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Foi sobre o projetivo! O professor estava construindo a estrutura suave em \( \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{R}} \): sejam \(\tilde{U}_i = \{(x_1,\ldots,x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1}| x_i \not= 0 \} \) e \(U_i = \pi(\tilde{U}_i) \), onde \(\pi: \mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\} \to \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{R}} \) é a projeção usual (coloque em \( \mathbb{P}^{n}_{\mathbb{R}} \) a topologia final da seta \( \pi\)). Ele definiu as cartas como \(\phi_i:U_i \to \mathbb{R}^n\), onde \(\phi_i([(x_1,\ldots,x_{n+1})]) = (x_1/x_i,\ldots,x_{i-1}/x_i,x_{i+1}/x_i,\ldots,x_{n+1}/x_i)\), e para mostrar que elas são contínuas ele queria usar a propriedade universal, i.e., verificar que \(\phi_i \circ \pi|_{\tilde{U}_i}:\tilde{U}_i \subset \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n}\) é contínua (o que é claro) e concluir que \(\phi_i\) também é. Mas para isso, precisava saber se a topologia induzida em \(U_i\) era a mesma que a topologia final da seta restrita \( \pi|_{\tilde{U_i}}:\tilde{U}_i \to U_i\), que é a pergunta!
written 3 months ago by Vinícius Novelli  
Muitissimo Obrigado.
written 3 months ago by Hugo Cattarucci Botós  
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