Questão 13


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9 months ago by
Olá pessoal,

eu estava tentando resolver a questão 13 e fiquei parado na construção da função. Eu consigo visualizar o que está acontecendo, esse gif mostra muito bem para o caso da bola fechada no plano:
Eu estava pensando em como mapear todos os pontos do bordo da bola fechada para o polo norte da esfera de forma contínua, imaginei algo como uma função que leva o ponto da bola em uma (n+1)-upla, em que a última coordenada depende do cosseno e da norma do ponto. Alguém conseguiu algo e poderia dar uma dica? 

Abraços.
Community: SMA5942

2 Answers


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9 months ago by
A ideia é mais ou menos a seguinte:

Coloque na bola fechada uma relação de equivalência que identifica a bola aberta com ela mesma, e todos os pontos do círculo com um único ponto \(p\)(claro, mostre que é de fato relação de equivalência).

Coloque nesse quociente a topologia quociente, isto é, um subconjunto \(A\) no novo conjunto é aberto se houver um aberto correspondente na bola fechada que contenha todos os pontos das classes de equivalência contidas em \(A\). Assim, um aberto que contenha \(p\) deve corresponder a um aberto que contenha todo o círculo na bola fechada (por exemplo, uma "rosquinha" com o bordo interno aberto). 

Agora você tem uma coisa correspondente a uma bola aberta e um ponto a mais. Use os Exercícios 5 e 7 para construir uma função (bijetora) que leva a bola aberta para a esfera sem um ponto, e \(p\) para o ponto faltante na esfera, e mostre que é um homeomorfismo.
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9 months ago by

Uma das formas de ver que o resultado é verdade é usar o conceito de exponencial no contexto de geometria Riemanniana. Tenho que dizer que essa não é a prova mais elementar (talvez fosse melhor usar projeção estereográfica e mostrar que \(\mathbb R^n\) é homeomorfo ao disco unitário), mas me parece ser a mais intuitiva (e, a menos de migué, mais facil).

 

Façamos o caso de \(\mathbb S^1\) primeiro. Considere a aplicação contínua sobrejetora \(f: [-\pi,\pi]\to \mathbb S^1\) dada por \(f(t) = e^{it}\). Repare que \(\mathbb D^1 = [-\pi,\pi]\) e seu bordo é \(\mathbb S^0 = \{\pi,-\pi\}\). Utilize a propriedade universal do quociente para construir a aplicação \(\tilde f: \mathbb D^1 / \mathbb S^0 \to \mathbb S^1\). Essa aplicação é homeomorfismo porque \( \mathbb D^1 / \mathbb S^0 \) é compacto e \(\tilde f\) é contínua e bijetiva. Note que o quociente pelo bordo surge para forçar a injetividade.

Repare que geometricamente o que a aplicação acima faz é tomar um \(t \in \mathbb D^1 \) e devolver o ponto obtido ao caminhar uma distância t partindo de 1. (Se \(t>0\) então vc caminha no sentido anti-horario e se \(t<0\) vc caminha no sentido horário.)

 

O mesmo argumento é valido no caso geral. Fixe um ponto \(p\in \mathbb S^n\). Para cada vetor tangente \(v \in \mathbb D^n = \{v\in T_p \mathbb S^n: |v|\leq \pi\}\) não nulo temos o ponto \(exp_p(v)\in \mathbb S^n\) obtido ao andarmos uma distância \(|v|\) na direção \(v\) sobre o círculo grande determinado por \(v\) (isto é, o círculo grande tangente obtido cortando a esfera pelo plano dado por \(p\) e \(v\)). Para \(v=0\) defina \(exp_p(v)=p\).

Assim temos a aplicação contínua e sobrejetora \(exp_p:\mathbb D^n \to \mathbb S^n\). Repare que a função falha em ser injetora no bordo de \(\mathbb D^n\), que é \(\mathbb S^{n-1} =\{v\in T_p \mathbb S^n: |v| = \pi\} \). A correção dessa falta de injetividade é corrigida pelo quociente e por argumento análogo ao descrito acima temos o homeomorfismo

\[\tilde{exp_p} : \mathbb D^n/\mathbb S^{n-1} \to \mathbb S^n.\]

 

Repare que podemos escrever explicitamente \(exp_p(v)\) como sendo

\[exp_p(v) = \cos(|v|) p + \sin(|v|)\frac{v}{|v|}.\]

Note que o mapa está definido em todo ponto porque o limite \[\lim_{|v| \to 0}exp_p(v) = p.\]

 

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Uma coisa que eu não entendi foi de onde surgiu o espaço tangente \( T_pM \). \(M \)é uma variedade suave qualquer e você define o disco como acima?

Edit: estava lendo na Wikipédia sobre o mapa exponencial e ela está definida do plano tangente da variedade para a variedade inteira. Então neste caso teríamos que a variedade é a esfera n-dimensional e o plano tangente é o espaço euclidiano n-dimensional (a menos de um isomorfismo). Assim o disco está contigo no espaço tangente da esfera como você descreveu.
written 9 months ago by Carlos Ronchi  
Opa! Escrevi errado. Não é \(M\) e sim \(\mathbb S^n\). O plano tangente \(\mathbb T_p\mathbb S^n\) é o hiperplano \(p+\{v\in \mathbb R^{n+1}: \langle p,v \rangle =0\}\), que pode ser identificado com o espaço vetorial \(\{v\in \mathbb R^{n+1}: \langle p,v \rangle =0\}\) ou mesmo pode ser identificado porcamente com \(\mathbb R^n\).
written 9 months ago by Hugo Cattarucci Botós  
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