Sobre o último encontro


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17 days ago by
Pessoal, eu percebi só ontem que fiz uma conta erradíssima no nosso último encontro. Antes de falar sobre isso, eu queria fazer algumas considerações sobre as coisas que a gente viu. O que vem a seguir está na página 46 do livro do Folland.

Uma função simples num espaço mensurável \( X\) é uma combinação linear finita de funções características (de conjuntos da \(\sigma\)-álgebra; o Folland define função característica para um subconjunto qualquer de \( X\)). Equivalentemente, \(f:X\to\mathbb{R}\) (ou \(\to \mathbb{C}\)) é simples sse \(f\) é mensurável e a imagem de \(f\) é um subconjunto finito de \(\mathbb{R}\) (ou de \(\mathbb{C}\)). De fato, temos que \[f=\sum_{i=1}^nz_j\cdot\chi_{E_j}\] onde \(E_j=f^{-1}\{z_j\}\) e \(\text{range}(f)=\{z_1,\ldots,z_n\}\). A representação de \(f\) anterior é chamada de representação padrão (standard) de \(f\). Sobre a representação padrão o Folland diz: It represents \(f\) as a linear combination, with distinct coefficients, of characteristic functions of disjoint sets whose union is \(X\). Note: one of the coefficients \(z_j\) may well be \(0\), but the term \(z_j\cdot\chi_{E_j}\) is still to be envisioned as part of the standard representation, as the set \(E_j\) may have a role to play when \(f\) interacts with  other functions.

No começo da seção sobre integração de funções não-negativas ele fixa um espaço de medida \((X,\mathcal{M},\mu)\) e define \(L^{+}\) como o conjunto de todas as funções mensuráveis de \(X\) para a \([0,\infty]\). Daí, se \(\phi\) é uma função simples em \(L^{+}\) com representação padrão \(\phi=\sum_{i=1}^na_j\chi_{E_j}\), definimos a integral de \(\phi\) com respeito a \(\mu\) por \[\int\phi d\mu=\sum_{i=1}^na_j\mu(E_j)\] (com a convenção \(0\cdot\infty=0\); por exemplo se a pré-imagem de \(0\) for um conjunto de medida infinta, esse conjunto não entra no cômputo da integral).

Agora, a conta errada. O problema era o seguinte: dada uma função simples \(f\) e duas representações distintas de \(f\) como combinação linear finita de funções características (as funções características em consideração daqui pra frente serão sempre de conjunto da \(\sigma\)-álgebra) sendo uma dessas a representação padrão, é verdade que a integral da \(f\) não depende da particular representação escolhida? Note que o Folland definiu a integral em termos da representação padrão, mas a gente pode usar os itens a e b da proposição 2.13 pra calcular a integral de \(f\) numa outra representação (pois (múltiploes de) funções características em si são simples). A princípio, eu achei que a resposta a essa pergunta fosse não e "dei" um contra exemplo, a saber a função \(f\) de \(\mathbb{R}\) em \([0,\infty]\) que vale \(1\) em \([1,2]\cup [3,4]\), \(2\) em \([2,3]\) e \(0\) fora desses intervalos. Pra simplificar vou chamar \([1,2]\) de \(A\), \([2,3]\) de \(B\), \([3,4]\) de \(C\) e o "resto" (\((-\infty,1)\cup (4,\infty)\)) de \(D\). Então a representação standard de \(f\) é \(1\cdot\chi_{A\cup C}+2\cdot\chi_{B}+0\cdot\chi_{D}\). Usando a definição de integral anterior para calcular \(\int f\) (a integração é com respeito à medida \(m\) de Lebesgue) chegamos no valor \(4\) (notem que a união \(A\cup C\) é disjunta). Por outro lado, podemos escrever \(f\) como \(\chi_{[1,4]}+\chi_{[2,3]}+0\cdot\chi_{D}\). Daí, considerando cada parcela da soma anterior como uma função simples e usando o (item a e o) item b da proposição 2.13 temos que \[\int f=\int\chi_{[1,4]}+\int\chi_{[2,3]}+0\cdot\int\chi_{D}=m([1,4])+m([2,3])+0\cdot m(D)=m([1,4])+m([2,3])\] pela convenção de \(0\cdot\infty=0\). O meu erro foi dizer que \(m([1,4])=4\) quando na verdade é \(4-1=3\). Por isso, na hora que eu fiz a conta a integração nessa última representação deu \(5\) e na standard deu \(4\).

Na verdade, a integral de uma função simples NÃO DEPENDE da representação. A demonstração é simples (por favor, verifiquem se está tudo certo). Suponha que \(\phi\) é a representação standard e \(\psi\) seja uma outra representação. Como \(\phi\) e \(\psi\) são duas representações para a mesma função \(f\), temos que \(\phi=\psi\). Em particular \(\phi\leq\psi\) e \(\psi\leq\phi\). Usando o item c da proposição 2.13 nessas duas últimas desigualdades, temos que \(\int \phi\leq \int \psi\) e \(\int \psi\leq \int \phi\), donde segue que \(\int \phi=\int \psi\) e acabou.

EDIT Utilidade Pública: Errata no livro do Folland
Community: Reading group ICMC

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