Lista 7, Exercício 13


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8 months ago by
Neste exercício, seria necessário assumir que a característica do corpo é maior que 2? O que observei, e que gostaria que, por favor, verificassem se não há algum erro que passou despercebido, é que se \(q=2\), a curva \(\mathcal{C}:y^2-y-x(x^2-x)=0\) e, portanto, seu fecho projetivo, terão infinitos pontos de inflexão: como esta curva é irredutível, podemos aplicar o exercício 8, que diz que um ponto \(P\in\mathcal{C}\) será de inflexão se, e somente se, \(f_1=f_x(P)\cdot x+f_y(P)\cdot y= x_P^2\cdot x+y\) divide \(f_2=f_{xx}(P)\cdot x^2+2f_{xy}(P)\cdot xy+ f_{yy}(P)\cdot y^2 =0\), o que sempre ocorre.
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Parece verdade o que você escreveu! No exercício 12 notei que é necessário termos q>2 também, já que temos pontos de multiplicidade q e q+1 e, no caso, q=2, não teremos pontos de inflexão.
written 8 months ago by Felipe Espreafico Guelerman Ramos  

1 Answer


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8 months ago by

Em caracteristica 2,  como nos outros casos, a curva em questao tem apenas 1 ponto de inflexao, a saber, (0:1:0).

O exercicio 8 nao vale em car=2. O problema é que, em car=2,   as derivadas de 2a prdem serao sempre nulas, ou seja

\[f_{xx}(P)\cdot x^2+2f_{xy}(P)\cdot xy+ f_{yy}(P)\cdot y^2 =0\]

indepedentemente da curva.

Para obter um  resultado análogo para caracteristica 2, deve ser invocado um outro tipo de derivada, chamada de derivada de Hasse. Propria para se trabalhar em caracteristica positiva.


Observe que tambem nao faz sentido falar na curva Hessiana (usual) em car=2.

Entendi, agora. Então o exercício 8 só vale em característica 0 ou existe alguma hipótese especial que nos permita usá-lo em característica positiva maior que 2?
written 8 months ago by Eduardo Walchek  
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\(Car\neq 2\) é a  única restriçao do exercício 8.
written 8 months ago by Herivelto Borges  
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