Demonstrações alternativas para grupos solúveis


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EDIT: Tive que mudar a notação porque me avisaram sobre como ela estava varzeada em algumas partes, peço perdão por isso.

EDIT 2: Alterei parte da Proposição 2, que antes era uma proposição auxiliar. A razão por trás disso é que percebi que da forma como a proposição estava escrita, junto com as dicas que foram dadas, havia a possibilidade de que isso induzisse a um erro sutil na demonstração, ou que levasse por um caminho essencialmente igual ao que foi usado na demonstração feita em sala. Da forma como está agora, a demonstração é mais simples e usa uma abordagem diferente da que foi utilizada em sala. Além disso, adicionei mais um fato preliminar que já foi demonstrado em sala.

Resolvi deixar aqui um roteiro para umas demonstrações alternativas de algumas propriedades de grupos solúveis. Elas envolvem um fato relativamente simples de grupos normais, mas que de qualquer forma está no início do roteiro como fato preliminar, afinal de contas, relembrar é viver :).

A única ressalva é a seguinte: as Proposições 1 e 2 abaixo são demonstráveis a partir dos fatos de grupos solúveis já vistos em sala, mas a ideia é justamente usar tais proposições para dar uma demonstração alternativa desses fatos. Assim, para não cair em circularidade, só vale usar a definição de grupo solúvel, ambas as proposições seguirão disso.

\(\textit{Fatos preliminares:}\)

(1) Sejam \(G,H\) grupos e \(\psi: G\rightarrow H\) um morfismo de grupos. Mostre que se \(K \triangleleft G\), então \(\psi(K) \triangleleft \psi(G)\). (Essa demonstração é bem direta, sem muita adrenalina.)

(2) Um grupo \(G\) é solúvel se, e somente se, sua série derivada atinge o grupo trivial em um número finito de termos.

\(\textbf{Proposição 1:}\) Sejam \(G, H\) grupos, com \(G\) solúvel, e seja ainda \(\psi: G \rightarrow H\) um morfismo de grupos. Então \(\psi(G)\) é solúvel.

\(\textit{Dicas:}\) - como \(G\) é solúvel, existe uma cadeia \(\{e\}=G_0 \triangleleft G_1 \triangleleft \dots \triangleleft G_n = G\) tal que \(G_{i+1}/G_i\) é abeliano. Usando o fato preliminar, obtenha a partir dessa cadeia uma cadeia de grupos sucessivamente normais em \(\psi(G)\);

- após ter obtido uma cadeia \(\{e\} = K_0 \triangleleft K_1 \triangleleft \dots \triangleleft K_n = \psi(G)\) na imagem, para mostrar que os quocientes \(K_{i+1}/K_i\) são abelianos, construa um morfismo \(\varphi: G_{i+1} \rightarrow K_{i+1}/K_i\) tal que \(G_{i+1}/\ker \varphi \subseteq G_{i+1}/G_i\) (você precisará usar o Teorema da Correspondência) e conclua que \(K_{i+1}/K_i\) é abeliano usando o Primeiro Teorema de Isomorfismo.

\(\textbf{Corolário 1:}\) Seja \(G\) um grupo solúvel e \(K \triangleleft G\). Então \(G/K\) é solúvel. (\(\textit{Dica:}\) use o morfismo projeção \(\pi: G \rightarrow G/K\) e o resultado anterior).

Com isso obtemos um dos resultado sobre grupos solúveis. Falta agora mostrar que todo subgrupo de grupo solúvel é também solúvel. A forma menos burocrática de fazer isso é analisar a solubilidade em termos da série derivada do grupo.

\(\textbf{Proposição 2:}\) Seja \(G\) um grupo solúvel e \(K \leq G\) um subgrupo qualquer. Então \(K\) é também solúvel. (\(\textit{Dica:}\) compare a série derivada de \(K\) com a série derivada de \(G\) e conclua que \(K\) deve ser solúvel).

Deixem nos comentários se encontrarem algum problema, tentei checar se tudo encaixava certo, mas pode ter passado algum erro. Caso os enunciados não estejam muito claros, peço também que deixem sugestões para melhorar a escrita, ou caso achem que algum outro fato preliminar importante para a demonstração deveria ser adicionado à lista.

Adendo: É possível mostrar que o produto direto de um grupo solúvel por um subgrupo seu é solúvel diretamente e a partir disso deduzir que subgrupo de grupo solúvel é também solúvel usando um morfismo projeção. Para isso, dada a cadeia \(\{e\} = G_0 \triangleleft G_1 \triangleleft \dots \triangleleft G_n=G\), trabalhe com a seguinte cadeia no produto direto: \(\{e\} =  G_0 \times (G_0 \cap H) \triangleleft G_1 \times (G_1 \cap H) \triangleleft G_n \times (G_n \cap H) = G \times H\) e mostre que ela satisfaz as condições de solubilidade. Essa demonstração é na verdade muito parecida com a que foi apresentada em sala, por isso resolvi incluí-la apenas como adendo.

 

Community: Algebra I-ICMC-2017

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Vou adicionar mais um fato útil a estes já mostrados por nosso grande amigo engenheiro infiltrado. Vamos usar o fato que, dado \(H\triangleleft G\) solúvel tal que \(G/H\) seja solúvel, também teremos que \(G\) é solúvel (ou seja, a recíproca do que está demonstrado aqui). 

Proposição.  
Sejam \(G_1\) e \(G_2\) grupos. Então \(G_1\times G_2\) é solúvel se e só se \(G_1\) e \(G_2\) são solúveis.
Demonstração: Basta considerar a sequência:
\(1\longrightarrow G_1\longrightarrow G_1\times G_2\longrightarrow G_2\longrightarrow 1\)
onde \(i:G_1\to G_1\times G_2\) é tal que \(i(x) = (x,1)\) e \(p:G_1\times G_2\to G_2\) é tal que \(p((x,y)) = y\).

Note que \(i\) é um morfismo injetor e que \(p\) é sobrejetor (verfique!). Além disso, \(i(G_1) = ker(p)\), para isso, basta notar que, se \((x,y) \in ker(p)\), ou seja, \(p((x,y)) = 1\), temos que \((x,y) = (x,1) \in i(G_1)\) e que se \((x,y)\in i(G_1)\), temos que \(y=1\) (pois \((x,y)\) é imagem de alguém de \(G_1\)), e portanto \(p((x,y)) = 1\), o que implica \((x,y)\in ker(p)\).

Agora, pelo primeiro teorema de isomorfismo, temos que \(\frac{G_1\times G_2}{G_2} \cong ker(p)\cong i(G_1)\cong G_1\). Logo, usando o fato considerado no começo dessa resposta, temos que \(i(G_1)\triangleleft G_1\times G_2\) (mostre!) e que o quociente por ele é solúvel. Por outro lado, se \(G_1\times G_2\) é solúvel, temos que \(G_2\) é imagem de solúvel (p é sobrejetor) e que \(G_1\) é isomorfo a um subgrupo de solúvel.

Assim, encerramos a demonstração.

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