Sobre o exercício deixado na última aula


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10 months ago by
No exercício que pedia para mostrarmos que \(Res(f,g)=Res(f,g+hf)\), sendo \(deg(h)=deg(g)-deg(f)\), não podemos ter uma condição mais fraca:  \(deg(h) \leq deg(g)-deg(f)\)? É que, seguindo a sugestão do Herivelto de demonstrar diretamente usando a matriz de Sylvester, se supusermos \(h=c_0+c_1T+...+c_sT^s\), sendo \(c_0,c_1,...,c_s\in R, R\) domínio, com \(s\leq deg(g)-deg(f)\), \(f=a_0+a_1T+...a_nT^n\) e \(g=b_0+...+b_mT^m\), \(a_i,b_i\in R\), temos que \(hf+g=c_0(a_0+a_1T+...+a_nT^n)+
\\ +c_1(a_0T+...+a_nT^n)+...+c_s(a_0T^s+a_1T^{s+1}+...+a_nT^{n+s})+b_0+....+b_mT^m\).
Então, dadas as matrizes de Sylvester \(M, M'\) tais que \(det(M)=Res(f,g)\) e \(det(M')=Res(f,hf+g)\), se nomeamos \(l_i\) a linha \(i\) da matriz \(M\) e \(l'_i\) a linha \(i\) da matriz \(M'\), \(l'_{m+1}=c_0l_1+c_1l_1+...+c_sl_s+l_{m+1},l'_{m+2}=c_0l_2+c_1l_3+...+c_sl_{s+1}+l_{m+2},..., \\
l'_{m+n}=c_0l_n+c_1l_{n+1}+...+c_sl_{n+s}+l_{m+n}\). Segue que os determinantes das matrizes não se alteram. Não vi problema na argumentação para \(s\), alguém vê?

2 Answers


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10 months ago by
Acho que a hipótese \(\mathrm{deg}(h)\le \mathrm{deg}(g)-\mathrm{deg}(f)\) também funciona, o que não pode acontecer é \(\mathrm{deg}(h)> \mathrm{deg}(g)-\mathrm{deg}(f)\). Suponha \[f(T)=a\prod_{i=1}^n(T-X_i),\hspace{10pt} g(T)=b\prod_{i=1}^m (T-Y_i)\hspace{5pt}\text{e}\hspace{5pt} h(T)=c\prod_{i=1}^p (T-Z_i)\] com \(p\le m-n\). Assim, \[\mathrm{Res}(f,g+hf)=a^{\max\{m,n+p\}}\prod_{i=1}^n (g+hf)(X_i)=a^m\prod_{i=1}^n g(X_i)=\mathrm{Res}(f,g)\] Se tivéssemos que \(p>m-n\), o expoente de \(a\) na expressão seria estritamente maior que \(\mathrm{deg}(g)\) (ia "sobrar" um pouco), não dando igualdade no caso geral. Mas isto nos permite obter uma generalização para este resultado: \[\mathrm{Res}(f,g+hf)=a^{\max\{0,\mathrm{deg}(h)+\mathrm{deg}(f)-\mathrm{deg}(g)\}}\mathrm{Res}(f,g)\]
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Estou pensando numa coisa aqui. Se \(deg(h)=deg(g)-deg(f)\), não pode acontecer de cancelarmos os termos de maior grau e, então, teremos \(deg(g+hf)<m\)?  Nesse caso, também não teremos uma resultante diferente porque o \(m \) da sua expressão é menor que o desejado? 
A propósito, bem legal sua demonstração, dá pra usar antes também, aparentemente, poupando muitos índices hehe
written 10 months ago by Maíra Duran Baldissera  
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Usando a notação acima, se os termos de maior grau se cancelarem, é porque \(ac=-b\), mas isto significa que \(a,b,c\) são algebricamente dependentes sobre \(R\). Porém, aqui estamos trabalhando com a hipótese de que \(a,b,c,X_1,...,X_n,Y_1,...,Y_m,Z_1,...,Z_p\) são todos algebricamente independentes sobre o domínio \(R\).
written 10 months ago by Eduardo Walchek  
Mas isso é estranho, porque o caso do plano projetivo é consequência, mas os índices podem se cancelar no plano, porque, não necessariamente, são algebricamente independentes. Por exemplo, tome as curvas \(g=x^2y^2+x^2z^2,f=y^2+z^2,h=-x^2\). Tudo bem que esse caso é patológico porque a resultante é nula, mas só ilustrando. Ah, um caso menos patológico: \(g=x^2y^2+z^2,f=1,h=-x^2y^2\).
written 10 months ago by Maíra Duran Baldissera  
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Aqui, \(f,g,h\) são polinômios de uma variável, não são polinômios homogêneos em três variáveis: Se \(A=R[a,b,c,X_1,...,X_n,Y_1,...,Y_m,Z_1,....,Z_p]\), temos \(f,g,h\in A[T]\).
written 10 months ago by Eduardo Walchek  
Só que eu posso encarar como se fossem polinômios sobre uma variável, não? Fixando \(x,y\) ou \(z\)...
written 10 months ago by Maíra Duran Baldissera  
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Sejam \(F,G,H\in K[X,Y,Z]\) homogêneos de graus \(n,m,p\). Fixe uma das variáveis, por exemplo, \(Z\). Escreva \(F=\sum_{i=0}^{n} f_{n-i}(X,Y)Z^i\), \(G=\sum_{i=0}^{m} g_{m-i}(X,Y)Z^i\) e \(H=\sum_{i=0}^{p} h_{p-i}(X,Y)Z^i\). Para estarmos nas condições do problema original, devemos ter que \(f_0\), \(g_0\) e \(h_0\) são algebricamente independentes sobre \(K\), o que não ocorre nos exemplos que você forneceu.

written 10 months ago by Eduardo Walchek  
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Não sei se estou interpretando erroneamente a hipótese "algebricamente independentes", mas com isto também não vejo como a propriedade à qual você se referiu segue diretamente.
written 10 months ago by Eduardo Walchek  
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Sim, sim. Então, a prova para \((F,G)_P=(F,G+AF)_P\) deve ser outra?
written 10 months ago by Maíra Duran Baldissera  
Essas pessoas que respondem simultaneamente... hahaha Ok, então.
written 10 months ago by Maíra Duran Baldissera  
Bom, para ser honesto, não sei. Mas não vejo como não usar as propriedades de resultante aqui. Só estou um pouco confuso agora com as hipóteses em que o resultado principal se aplica...
written 10 months ago by Eduardo Walchek  
Concordo que não será a mesma situação do problema, porém, pelo que o Herivelto disse, deu a entender que \((F,G)_P=(F,G+AF)_P\) é consequência direta.
written 10 months ago by Maíra Duran Baldissera  
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Acho que descobri: fatore \(F\), \(G\) e \(H\) completamente como acima e troque o que aparecer (as raízes e o coeficiente líder) por variáveis. Nestas condições, vale o teorema. Mas o que é são as resultantes \(\mathrm{Res}(F,G+FH)\) e \(\mathrm{Res}(F,G)\) senão polinômios em todas estas variáveis que colocamos? Como a igualdade do teorema é uma igualdade entre estes polinômios (em um monte de variáveis!) basta substituir o que tínhamos antes da troca, e pronto.
written 10 months ago by Eduardo Walchek  
(Não sei se ficou muito claro)
written 10 months ago by Eduardo Walchek  
Ficou sim. Tbm entendi que deveríamos ver assim. Só que, na hora de calcular a resultante, talvez devamos montar a matriz de forma diferente, porque a matriz do problema tem dimensão \(n+m\), mas a matriz nova terá dimensão menor, parece. E isso talvez gere algum problema...
written 10 months ago by Maíra Duran Baldissera  
É, acho que está certo. Só compliquei uma situação particular, mas ainda não entendo porque a dimensão é irrelevante, como consequência do resultado mais geral.
written 10 months ago by Maíra Duran Baldissera  
Bom, isso não deve importar muito, uma vez que já temos o resultado mais geral.
written 10 months ago by Maíra Duran Baldissera  
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Sim, pode ser que os graus de \(F,G,H\) como polinômios em \(Z\) sejam menores que seus respectivos graus como polinômios homogêneos, mas não tem problema, o resultado se aplica do mesmo jeito.
written 10 months ago by Eduardo Walchek  
Dá a impressão de que a resultante deve ser nula...
written 10 months ago by Maíra Duran Baldissera  
Faça \(F(X,Y,Z)=-Y^4+Y^2Z^2=Y^2(Z-Y)(Z+Y)\) e \(G(X,Y,Z)=X^3Z\). Sejam variáveis \(X_1,X_2,Y_1,a,b\) e os polinômios \(f(Z)=a(Z-X_1)(Z-X_2)\) e \(g(Z)=b(Z-Y_1)\). A resultante deles é \(\mathrm{Res}(f,g)=ab^2(X_1-Y_1)(X_2-Y_1)\). Agora, substituindo \(X_1=Y,X_2=-Y,Y_1=0,a=Y^2\) e \(b=X^3\), temos que \(\mathrm{Res}(F,G,Z)=-Y^4X^6\neq 0\).
written 10 months ago by Eduardo Walchek  
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10 months ago by

Otima discussao!  Foi parar na lista de exercicos!
Observe que isso implica que \[(G,F)_P=(G,F+GH)_P\] para todo \(H\).

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