Lista 7 - Exercício 7


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8 months ago by
Acho que na questão 7 da lista 7 temos que acrescentar alguma hipótese.

Se considerarmos, por exemplo, \(\mathcal{C}: y-x^2=0\) e \(\mathcal{D}:y=0\), temos \(n=2\) e \(m=1\), de forma que de fato \(n \geq m\), além disso, tomando \(P=(0,0)\), temos um ponto não-singular de ambas as curvas e tal que \(I(P,\mathcal{C}\cap\mathcal{D}) = 2 \geq n\), como é pedido nas hipóteses.

Entretanto, temos que \(T_P \mathcal{C} = \mathcal{D}\) e \(T_P  \mathcal{D} = \mathcal{D}\) de forma que \(I(P,\mathcal{C} \cap T_P \mathcal{C}) = 2\) e \(I(P, \mathcal{D} \cap T_P\mathcal{D}) = \infty\), o que não é condizente com a igualdade do enunciado.

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8 months ago by
Sim, voce tem razao! Ja' tentou fazer as contas excluindo o caso em que \(\mathcal{D}\neq T_P\mathcal{C} \)?
A ideia é usar o Lema 13.1 da Aula 16.
As tangentes podem ser diferentes mesmo? Não consegui pensar num contra-exemplo ainda, mas não parece dar pra aplicar o lema caso contrário.
written 8 months ago by Maíra Duran Baldissera  
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Quando as retas tangentes  säo diferentes, temos  \(I(P,\mathcal{C}\cap \mathcal{D})=1\). Assim, as hipóteses do enunciado implicam \(n=m=1\), ou seja, o problema se resume na interseccao de   duas retas distintas  e a conclusao continua verdadeira.


Apesar disso, nao se deve dar muita bola pra esse caso.  O caso que interessa é o caso geral, onde as retas tangentes às curvas são a mesma reta. Tente pensar no fato geral  que esse problema está nos ensinando

"Se duas curvas têm ordem de contato suficientemente alta em um ponto não-singular P,
entao as ordens de contato com as respectivas retas tangentes em P é a mesma."

written 8 months ago by Herivelto Borges  
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