Dúvida sobre uma definição da Aula 03


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4 months ago by
Estava pensando sobre a aula de hoje e revisando as notas, e fiquei com uma pequena dúvida a respeito de uma definição que foi dada. Pensei um pouco sobre a resposta e escrevi abaixo o que acho que poderia ser, mas gostaria de saber se alguém poderia corrigi-la ou dizer se está correta.

Definimos em aula uma curva plana projetiva como sendo um conjunto da forma
\[
V(F) = \{(x:y:z) \in \mathbb{P}^2 : F(x:y:z)=0\},
\]
onde \(F(x,y,z) \in k[x,y,z]\) é um polinômio homogêneo com coeficientes no corpo \(k\).

Minha dúvida é a seguinte, como \((x:y:z) \in \mathbb{P}^2\) denota uma classe de equivalência de elementos de \(\mathbb{A}^3 \backslash \{(0,0,0)\}\), o que exatamente significa dizermos que \(F(x:y:z)=0\)? Seria que \(F(a,b,c) = 0 \) para todo \((a,b,c) \in (x:y:z)\)?

Sendo \(F\) homogêneo por definição, sei que se \(F(x,y,z)=0\), então \(F(a,b,c)=0\) para todo \((a,b,c) \in (x:y:z)\), logo também me parece razoável dizer que \(F(x:y:z)=0\) se \(F(x,y,z)=0\), o que seria uma definição independente de representantes de classe por conta da homogeneidade do polinômio.

Em resumo, o que queremos dizer exatamente com \(F(x:y:z)=0\)?




2 Answers


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Sua resposta está correta. \( (x:y:z) \) é uma classe de equivalência. Para calcular \(F(x:y:z)\), basta tomar um representante da classe, digamos, \( (x,y,z) \) e calcular \(F(x,y,z)\). Note que, se \(F(x,y,z) = 0\), então \(F(kx,ky,kz) = 0\), por conta da homogeneidade do polinômio. Isso significa que, o fato de uma classe \( (x:y:z) \) estar no conjunto \( V(F) \) definido não depende do representante da classe. Em todo caso, note que, caso o ponto não seja raiz, o valor que o polinômio assume depende do representante (o valor se multiplica por \(k^n\)).
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4 months ago by
Só sendo chata. A classe de equivalência é dada sobre elementos de \( \mathbb{A}^3-\{(0,0,0)\} \), não é?
Eita, de fato, escrevi errado mesmo. Vou corrigir já, obrigado pela correção :)
written 4 months ago by Edmundo Martins  
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Ia falar "de nada" só, mas o fórum permite apenas mensagens com, pelo menos, 20 caracteres. É, já foram 20, então: de nada!
written 4 months ago by Maíra Duran Baldissera  
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