Questão teste sobre Espaço Projetivo- Essa resposta está correta?


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7 months ago by

Para testar o nosso entendimento do Lema de Burnside, tentaremos aplicar esse resultado na solução desse problema.

Como \(\mathbb{F}_p\) é um corpo, podemos considerar o grupo multiplicativo \(G=\mathbb{F}_p^*\), de ordem
\(p-1\), e ainda a seguinte ação de \(G\) em \(X:=\mathbb{F}_p^{n+1}\backslash \{(0,0,\ldots,0)\}\):

\[g\cdot (a_0,a_1,\ldots,a_n)\mapsto (ga_0,ga_1,\ldots, ga_n). \]

Temos que o número de elementos do espaço projetivo é exatamente o número de órbitas dessa ação.
Assim, para contar tais órbitas, podemos Lema de Burnside. Já sabemos que \(|G|=p-1\). Agora, para cada \(g\in G\), calculemos \(|Fix(g)|\). Ou seja, contaremos quantos elementos de \(X\) são fixados por cada \(g\in G\). Observe que
\[g\cdot (a_0,a_1,\ldots,a_n)= (a_0,a_1,\ldots,a_n) \iff (a_0,a_1,\ldots,a_n)=(ga_0,ga_1,\ldots, ga_n) \iff g=1. \]
Ou seja, a identidade de \(G\) é o único \(g\in G\) que fixa algum  vetor de \(\mathbb{F}_p^{n+1}\backslash \{(0,0,\ldots,0)\}\). Portanto
\[|Fix(g)|=1 \hspace{1cm}\forall g \in G.\]

Logo, pelo Lema de Burnside, o o número de elementos do espaço projetivo é
\[\frac{1}{p-1} \cdot \sum\limits_{g\in G} 1=\frac{1}{p-1}\cdot (p-1)=1.\]

 


\({\bf Questão:}\) A solução acima:

1. Está correta.

2. Não está correta, pois a operação definida não é uma ação de \(G\) em \(X\).

3. Não está correta, pois o Lema de Burnside não pode ser aplicado nesse caso.

4. Não está correta, pois não é verdade que o único \(g\in G\) que fixa algum vetor de \(\mathbb{F}_p^{n+1}\backslash \{(0,0,\ldots,0)\}\) ė \(g=1\).

5. Não está correta, pois o número de elementos do espaço projetivo não é  o número de órbitas dessa ação.

6. nda

Community: Algebra I-ICMC-2017

1 Answer


4

Não está a correta a resolução. O que aconteceu foi um erro no cálculo de \(Fix(g)\). Temos que, de fato
\(

g⋅(a0,a1,…,an)=(a0,a1,…,an)\iff (a0,a1,…,an)=(ga0,ga1,…,gan)\iff g=1.

\)

Mas isso simplesmente significa que o único elemento que fixa alguém é g=1, ou seja, \(|Fix(g)| = 0\) para todo \(g\neq 1\) e \(|Fix(g)| = |X|\) para \(g=1\).

A alternativa correta é, portanto, e.

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