Fatos secundários (mas importantes) usados na aula de hoje (16/05/2017)


216
views
2
9 weeks ago by

Seguem alguns  fatos usados na aula de hoje. Mesmo que você já tenha feito isso como exercício há algum tempo,  é sempre bom relembrar. Alguém se habilita a responder uma ou mais dessas?

 

  1. Seja \(\phi: G_1 \longrightarrow G_2\) um morfismo de grupos. Se \(g\in G_1 \) tem ordem \(n\) então a ordem de \(\phi(g)\) divide \(n\). Dica: \(\phi(g^n)=??\).
  2. Se \([G:H]=2\), então \(H\triangleleft G\). Dica: Se \(g\in H\), então temos \(gH=Hg\). Se \(g\notin H\), como existem apenas duas classes laterais ....
  3. Se \(H\) e \(K\) são subgrupos normais de \(G\) tais que \(H \cap K= \{e\}\), então \(hk=kh\) para todo \(h \in H\) e \(k \in K\). Dica: onde está \(k^{-1}hkh^{-1}\)?
  4. Se \(xy=yx\) então \((xy)^k=x^ky^k\). Dica: \((xy)^k=(xy)(xy)\cdots (xy)\).
  5. Se \(o(a)=n\) e \(o(b)=m\) e \(ab=ba\) e \((m,n)=1\) então\(o(ab)=mn\).  Dica: \((ab)^{mn}=1\). Se \((ab)^{k}=1\), temos que \(a^{k}=(b^{-1})^{k}\) estão em ambos os grupos \(\langle a \rangle\) e \(\langle b \rangle\).
add commentfollow this post modified 8 weeks ago by Engenheiro Infiltrado   • written 9 weeks ago by Herivelto Borges  

2 Answers


3
9 weeks ago by

Como o item 1 já foi respondido acima, comecemos pelo item 2.

2) Temos que mostrar que \(gH = Hg\) para qualquer \(g \in G\). Lembre-se primeiramente que as classes laterais particionam o grupo (uma outra forma de concluir isso é ver as classes laterais como órbitas de uma ação específica de \(H\) sobre \(G\)). Veja que se for \(g \in H\) teremos com certeza \(gH = Hg\). Se tivermos entretanto \(g \not \in H\), não podemos ter \(gH = H\), mas como só existem duas classes laterais (tanto à esquerda quanto à direita, pois lembre-se que existe uma bijeção entre classes à esquerda e à direita), a única possibilidade é que tenhamos \(gH = Hg\), pois se não fosse isso, existiria uma terceira classe lateral, contrariando a hipótese. Como \(gH=Hg\) para todo \(g \in G\), temos que \(H \triangleleft G\).

3) A ideia é mostrar que para todo \(h \in H\) e \(k \in K\) temos \(hkh^{-1}k^{-1} \in H \cap K\), pois sendo a interseção dos dois grupos trivial, teremos \(hk=kh\). Veja então que \(hkh^{-1}k^{-1} = (hkh^{-1})k^{-1}\), mas sendo \(K\) normal em \(G\), temos \(hkh^{-1} = k'\) para algum \(k' \in K\). Segue então que \(hkh^{-1}k^{-1} = k'k^{-1} \in K\). Se fizermos agora \(hkh^{-1}k^{-1} = h(kh^{-1}k^{-1})\) e considerarmos que \(H\) é normal, concluiremos que \(hkh^{-1}k^{-1} \in H\). Se \(hkh^{-1}k^{-1}\) pertence tanto a \(H\) quanto a \(K\), então \(hkh^{-1}k^{-1} \in H \cap K\) e o resultado segue.

5) Como os elementos \(a\) e \(b\) comutam, temos que \((ab)^r = a^rb^r\), e isso nos permite concluir que \((ab)^{mn} = 1\). Veja agora que como \(m\) e \(n\) são coprimos,  a interseção \(\langle a \rangle \cap \langle b \rangle\) é trivial (por Lagrange), assim, pela dica dada podemos concluir que se \((ab)^k = 1\), então \(a^k = 1\), logo \(n \mid k\) e por um raciocínio análogo, concluímos que também vale que \(b^k=1\), e assim \(m \mid k\). Veja então que \(k\) é um múltiplo comum de \(m\) e de \(n\), mas acontece que quando \(m\) e \(n\) são coprimos, \(mn\) é o menor múltiplo comum dos dois números, então com certeza devemos ter que \(k \geq mn\). Concluímos assim que a menor potência \(k\) tal que \((ab)^k = 1\) é \(mn\), logo \(o(ab) = mn\).

add comment modified 8 weeks ago by Engenheiro Infiltrado   • written 9 weeks ago by Engenheiro Infiltrado  
1

Olá Engenheiro Infiltrado! Poderia me explicar por que se (ab)r = arbr então (ab)mn = 1? Por favor.

written 9 weeks ago by Danielle  
2

Olá Danielle. A justificativa por trás dessa passagem que você perguntou é a seguinte: lembre-se que como \(a\) e \(b\) comutam entre si, quando temos uma potência do produto desses elementos, podemos "distribuir" o expoente, ou seja, \((ab)^r = a^rb^r\). Sabendo disso, temos então que \((ab)^{mn} = a^{mn}b^{mn}\), mas usando as propriedades dos expoentes em grupos podemos reescrever essa última expressão como \((a^n)^m(b^m)^n\). Como por hipótese tínhamos que \(o(a)=n\) e \(o(b)=m\), a última expressão é reescrita \(1^m1^n = 1\), logo \((ab)^{mn} = 1\). Acabei usando em um momento o símbolo \(e\) e em outro o símbolo \(1\) para denotar a identidade do grupo, o que acho que deixou a resposta menos clara, vou alterar isso.

modified 9 weeks ago by Engenheiro Infiltrado   • written 9 weeks ago by Engenheiro Infiltrado  
1

Só gostaria de atentar à numeração dos problemas ;)

written 8 weeks ago by Éricles  
1

Quanto ao número 2,

a princípio as classes à esquerda e à direita não precisam ser as mesmas.. então, é verdade que, se g ∉H, gH ≠ H, mas isso não implica que gH = Hg, porque, embora hajam também 2 classes laterais à direita, (a princípio) elas não precisam coincidir com as à esquerda (não é difícil fazer um exemplo disso em S3, por exemplo). então não me parece que seu argumento segue (certo?).

written 8 weeks ago by Éricles  

A ideia é que como as classes laterais à esquerda e à direita ambas particionam o grupo,e tomando \(g \not\in H\), teremos com certeza \(G = H \cup gH\) e também \(G = H \cup Hg\). Assim, dado um \(x \in gH\) qualquer, temos \(x = gh\) para algum \(h \in H\), mas como as classes à direita também particionam, devemos ter \(gh \in H \cup Hg\), logo \(gh \in H\) ou \(gh \in Hg\). A possibilidade \(gh \in H\) não é possível, pois isso implicaria \(g \in H\), mas tomamos um \(g \not\in H\). Devemos então com certeza ter \(gh \in Hg\), logo \(gH \subset Hg\). Um raciocínio análogo mostra que \(Hg \subset gH\) e então \(gH=Hg\).

Então a ideia é que quando eu escolho qualquer elemento fora de \(H\), na hipótese de que só existem duas classes laterais, então a classe à esquerda por esse elemento será igual à classe à direita.

written 8 weeks ago by Engenheiro Infiltrado  
2
9 weeks ago by
Anonymous

1: Uma vez que temos que \(o(g)=n\), segue que \(\phi(g)^n=\phi(g^n)=\phi(e) = e\). Seja \(o(\phi(g))=m\) e \(n=k*m+r, 0<=r<n\). Note que \(e=\phi(g)^n =((\phi(g)^m)^k*g^r= e^k g^r =g^r\). Segue que \(r=0\). Logo \(o(\phi(g)) | n\).

modified 9 weeks ago by André Kowacs   • written 9 weeks ago by Anonymous
1

A ideia está correta. Pergunta: Não poderia dizer direto \(o(g)=n\)? Outra coisa,  que resultado justifica a última parte:   \(o(\phi(g))|n\)?

modified 9 weeks ago by Herivelto Borges   • written 9 weeks ago by Herivelto Borges  

Certo achei que \(G_1\) que tinha ordem n. Vou melhorar a resposta

modified 9 weeks ago by André Kowacs   • written 9 weeks ago by André Kowacs  
Please log in to add an answer/comment or follow this question.

Share this question


Similar posts:
Search »