Questão 29 da lista 4


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3
6 months ago by
Anonymous

Seja \(P\) um p-Sylow de \(G\). Se \(H\geq N(P)\) então \([G:H]\equiv 1 (mod p)\).

 

O que eu estava tentando usar para resolver é que

\[n_p = [G:N(P)] \equiv 1 (mod p)\]

 

mas não consegui chegar na conclusão do exercício.

Community: Algebra I-ICMC-2017

2 Answers


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6 months ago by

Mano (a) , imagina que nao existe G, que so existe H, entao vc sabe que o normalizador do P dentro de H è Nh (P) Entao [H:Nh (P)] =1modp

mas como o normalizador geral do P està no H, entao N (P) =Nh (P), e vale que: [G:Nh (P)] = 1modp

Por propriedade de congruencias segue o resultado.

2
6 months ago by
Anonymous

Valeu Pulga! O que eu não estava vendo era que como

\[[G:N(P)] \equiv 1 (modp)\]

usando o fato de \([G:N(P)] = [G:H][H:N(P)]\) temos que

\[[G:H][H:N(P)] \equiv 1 (modp)\]

mas sabemos que \(N_H (P) = N(P)\), então \([H:N(P)] \equiv 1 (modp)\), e isso implica que

\[[G:H] \equiv 1 (modp)\]

 

 

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