Questão 13.ii - Lista 3


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3 months ago by
Anonymous
Oi!

Alguma dica sobre como resolver esta questão? Por favor.

Agradeço.
Community: ALGEBRA I -2018
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Note que \(HK \subset \langle H \cup K \rangle\), já que \( hk \in HK \implies hk \in \langle H \cup K \rangle\), pela definição de gerador. A outra inclusão até poderia dar problema, mas como os grupos são normais, \(HK = KH\). Então, dado \( x \in \langle H \cup K \rangle\), temos que \(x\) é algum produto de \(k's\) e \(h's\), por exemplo \( x = k_1h_1k_2h_2...k_nh_n\). Daí você usa a hipótese de que os grupos são normais e pode sair trocando \(k_ih_i\) por \(h'_ik'_i\) de alguma forma conveniente, e acabar com um \(h^*k^* \in HK\).

written 3 months ago by Estevão Lobo  
Você pode provar o exercício sem a hipótese que os dois são normais, e sim  somente um deles sendo normal !?
written 3 months ago by Roberto Alvarenga Jr.  

2 Answers


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3 months ago by
Bom, não acredito que você queira a questão inteira. Acho que isso pode te ajudar:
Perceba que, pela normalidade de \(H\) e \(K\), todo elemento \(g=hk\), com \(h \in H\) e \(k \in K\) pode ser escrito como \(g=kh'\), com \(h' \in H\), já que \(kH=Hk\). Analogamente, o mesmo \(g\) também pode ser escrito como \(k'h\) para algum \(k' \in K\), pois \(hK=Kh\).
Intuitivamente, note que todo elemento de \( \langle H \cup K \rangle \) é uma sequência (ou melhor, um produto) de vários \(h\)s e \(k\)s e assim podemos rearranjar de modo que esse elemento seja escrito como \(h_1h_2h_3...k_1k_2k_3...=hk\) para algum \(h \in H\) e \(k \in K\).
Aí fica fácil de enxergar que os conjuntos são iguais. Mas claro, falta escrever bastante coisa aí, foi só pra te dar uma noção mais intuitiva do que pode ser feito.
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3 months ago by
Anonymous
Agradeço por todos os comentários/dicas. Deu trabalho mas saiu! :)
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