Resultado sobre grupos normais


71
views
3
5 months ago by
No fim da aula passada o Herivelto propôs que os seguintes resultados são equivalentes para grupos normais:
Dado um grupo \(G\), dizemos que \(H\) é normal em \(G\) se para todo \(g \in G\):
  1. \(gH = Hg\)
  2. \(gHg^{-1} = H\)
  3. \(gHg^{-1} \subseteq H\)
Eu fiz da seguinte forma:
  1. \((1 \implies 2)\): Temos \(gH = Hg\). Ou seja, dado \(h \in H\), existe \(h' \in H\) tal que \(hg = gh'\). Então \(h = gh'g^{-1} \implies h \in gHg^{-1} \implies H \subseteq gHg^{-1}\). A outra inclusão também vale, pois dado \(ghg^{-1} \in gHg^{-1}\) temos \(ghg^{-1} = (gh)g^{-1} = (h'g)g^{-1} = h'(gg^{-1}) =  h'\) \(\implies ghg^{-1} \in H \implies gHg^{-1} \subseteq H\). Logo \(gHg^{-1} = H\).
  2. \((2 \implies 3)\): Direto da definição de igualdade entre conjuntos.
  3. \((3 \implies 1)\): Temos que dado \(ghg^{-1} \in gHg^{-1}\), \(ghg^{-1} = h' \in H\). Então \(gh = h'g \implies gH \subseteq Hg\). Ora, mas esses conjuntos tem mesmo tamanho\(^1\), então \(gH = Hg\)
______________________________________

\(^1\): Para ver isso, basta notar que \(\psi : gH \longrightarrow Hg\), \(\psi(gh) = hg\), é bijeção.
2
Oi Estevão! Fiz o 1 e 2 da mesma maneira, mas o 3 não tinha conseguido fazer. Valeu!
written 5 months ago by Natália Porta 
1
Note que podemos concluir que  $Hg\subset gH$HggH , e concluirmos que  $Hg=gH$Hg=gH , sem pensarmos na bijeção.
Podemos, ao invés de tomarmos $g\in G$gG , escolhermos o seu inverso  $g^{-1}\in G.$g1G. Daí,
$g^{-1}Hg$g1Hg  $\subseteq$  H  $\Rightarrow$  $g^{-1}hg=h'\Rightarrow hg=gh'.$g1hg=h'⇒hg=gh'. Daí,  $Hg\subset gH.$HggH.
written 5 months ago by Manoel Netto 
1
Faz sentido! Mas acho que onde você pôs \(g^{-1}Hg = H \) o correto seria \(g^{-1}Hg \subseteq H \) (é a nossa hipótese)
written 5 months ago by Estevão Lobo 
1
Verdade,Estevão! Já editei.
written 5 months ago by Manoel Netto 
Aproveitando o post do Estevão, o professor também nos pediu para verificarmos que

i) $H_4=\left\{Id,\left(123\right),\left(132\right)\right\}=<\left(123\right)>\triangleleft S_3$H4={Id,(123),(132)}=<(123)>S3 ,
ii) Mas que $H_1=\left\{Id,\left(12\right)\right\}=<\left(12\right)>$H1={Id,(12)}=<(12)> não é normal em $S_3.$S3.

Para provarmos que um subgrupo H de  $S_3$S3  é normal em  $S_3$S3 , precisamos provar que  $\sigma H=H\sigma$σH=Hσ , $\forall\sigma\in S_3.$σS3.
$\sigma H_1=\left\{\sigma\circ Id,\sigma\circ\left(12\right)\right\}$σH1={σId,σ(12)}      
$H_1\sigma=\left\{Id\circ\sigma,\left(12\right)\circ\sigma\right\}$H1σ={Idσ,(12)σ}   
Como, nem sempre a composição é comutativa, podemos ter   $\sigma\circ\left(12\right)$σ(12)  diferente de  $\left(12\right)\circ\sigma.$(12)σ. O mesmo vale para  $H_2$H2 e  $H_3$H3 , os subgrupos de ordem 2.

Para provar que  $H_4\triangleleft S_3$H4S3 :, lembre que o índice $\left(A_3:S_3\right)=2$(A3:S3)=2. Portanto, as classes laterais à esquerda são iguais as classes laterais da direita.
Se   $\sigma\in A_3\Rightarrow\sigma A_3=A_3=A_3\sigma$σA3σA3=A3=A3σ  
Se   $\sigma\notin A_3\Rightarrow\sigma A_3=S_3\backslash A_3=A_3\sigma.$σA3σA3=S3\A3=A3σ.
written 5 months ago by Manoel Netto 
1

[...]Como, nem sempre a composição é comutativa, podemos ter   \(\sigma \circ \left(12\right)\)  diferente de  \(\left(12\right)\circ\sigma.\)


Realmente, a composição nem sempre é comutativa, mas poderia ser que \((1 2) \in Z(S_3)\) (o que não acontece, vide exercício 22 da lista 2). Pra mostrar, nesse caso, que nenhuma transposição vai comutar basta pegar alguém para gerar o contra exemplo, como \((12)(23) = (123) \neq (132) = (23)(12) \) e portanto \((23)H_1 \neq H_1 (23)\).

Acho que é mais interessante resolver esse exercício para \(S_n\) do que para \(S_3\), você pode fazer um post sobre isso :)

written 5 months ago by Estevão Lobo 

Similar posts:
Search »