Teorema: A5 é simples - Dúvida na demostração


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8 weeks ago by
Anonymous
Bom dia!

Não entendi a afirmação do professor ao provar que A5 é simples. Tal afirmação é: seja G subgrupo de S5, se G NÃO for subgrupo de A5 então |G∩A5|=|G|/2. Se anotei corretamente, nos comentários ele diz que |G∩A5|=2. Por que?

A demonstração, no geral, está bastante complicada de entender. Quem teve facilidade para entender poderia me explicar mais detalhadamente por favor?

Desde já agradeço.
Abraço
Community: ALGEBRA I -2018

2 Answers


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8 weeks ago by
Olá, nas minhas notas está assim:  "Se G não é subgrupo de A5 então |G∩A5|=|G|/2 logo, [G:G∩A5] = |G|/[G:A5] = |G|/(|G|/2) = 2"
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8 weeks ago by
Anonymous
Obrigado Fernanda :)
Também anotei isso.

Mas continuo sem entender porque "se G NÃO for subgrupo de A5 então |G∩A5|=|G|/2". Travei nessa parte e não consegui entender a demostração desse teorema.
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Oi.

Se \(G\) não for subgrupo de \(A_5 \), então \(|G A_5| > 60 = |A_5|\). Como \(|G A_5| | 120\), isso implica \(|G A_5|=120\). Assim,
\[ \frac{|G| |A_5|}{|G \cap A_5|} = |G A_5| = 120 \]
portanto \( |G \cap A_5| = |G|/2 \).
written 8 weeks ago by Roberto Alvarenga Jr.  
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