Lista 3, Exercício 9


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10 months ago by

Esse exercício pede pra mostrar que \(x^2 + y^2 = 3z^2\) não tem ponto sobre \(\mathbb{Q}\). O que eu acabei fazendo pra entregar pro Herivelto foi um argumento meio feio traduzindo o problema pra soluções de uma equação diofantina mod \(3\) e chegando em uma contradição, mas eu tava pensando um pouco melhor sobre o exercício e acho que achei um método mais simples de resolver, embora eu não tenha muita certeza de que ele é válido (não vi problemas, então acho que tá certo).

Essencialmente o que eu fiz foi:

Quando \(z=0\), temos \(x^2 + y^2 = 0\), que não admite solução em \(\mathbb{Q}\) além de \(x=y=0\). Então não temos nenhum ponto no infinito com coordenadas em \(\mathbb{Q}\) além de \((0,0,0)\), que não mora no projetivo.

Agora façamos \(z=1\). Nesse caso temos \(x^2 + y^2 = 3 \Rightarrow x^2 + y^2 - 3 = 0\). Analisando na variável \(x\) e usando um Bhaskara esperto, a gente tem: \[x = \pm \frac{\sqrt{12-4y^2}}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{3-y^2}\]

Logo, como para qualquer \(y > 1\) a gente tem apenas soluções complexas, então teríamos que analisar quando \(y = 0\) e quando \(y=1\), e em ambos os casos temos que \(x\) é irracional. Com isso eu concluí que não tem como ter ponto sobre \(\mathbb{Q}\). O método está correto? Me parece que sim.

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Acho que tem um probleminha, mas talvez não esteja enxergando alguma passagem sua que ficou implícita... Uma solução racional é da forma \((p/q,m/n,l/t)\), com \(m,n,p,q,l,t \in \mathbb{Z}\), mas podemos supor \(z=1\) se quisermos uma solução com \(z\neq 0\). Então, queremos uma solução para a curva \((p/q)^2+(m/n)^2=3\). Assim, a equação que devemos resolver com valores inteiros é \((x')^2+(y')^2=3(z')^2\), com \(x'=pn,y'=mq,z'=nq\) e não \(x^2+y^2=3\), recaindo no argumento da equação diofantina.
written 10 months ago by Maíra Duran Baldissera  
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Nossa, verdade, pensei apenas em \(y \in \mathbb{Z}\) como solução, que de fato está errado. Vacilei. Vou tentar mostrar que \(x \notin \mathbb{Q}\) supondo agora que \(y \in \mathbb{Q}\) desse jeito.
written 10 months ago by Evil Caio  
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É, acabei caindo de novo na equação diofantina, não teve jeito. ):
written 10 months ago by Evil Caio  
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