Dúvida sobre a demonstração do Lema de Study


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13 months ago by
Na demonstração do Lema de Study, é feita a suposição de que \( mdc(f,g)=1 \), e então escrevemos \(1 \) como combinação linear de \(f\) e \(g\) com coeficientes em \( K(X)[Y] \). Alguém sabe se esse \( mdc(f,g)=1 \) é tomado também sobre elementos de \( K(X)[Y] \), e, se sim, por quê?

Para ser mais precisa, quero saber por que podemos concluir que \(mdc(f,g)=1 \) em \( K(X)[Y] \) se  \(mdc(f,g)=1 \) em \( K[X,Y] \) e \(f\) é irredutível em \( K(X)[Y] \), caso seja essa a afirmação feita.
Lema de Gauss! Sei que alguns de vocês não  fizeram Álgebra II, onde usualmente (mas nem sempre) isso é discutido.Vou esperar mais um pouco pra ver se alguém se habilita a dizer algo. Caso contrário, amanhã dou mais detalhes.
written 13 months ago by Herivelto Borges 

1 Answer


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É uma aplicação do Lema de Gauss. Decomponha \(f\) e \(g\) em fatores irredutíveis em K[X,Y]=K[X][Y]. Cada fator, pelo Lema de Gauss, será irredutível em K(X)[Y], já que K[X] é um domínio fatorial e K(X) é seu corpo de frações. Pela unicidade da decomposição em K(X)[Y], temos que \(f\) e \(g\) não tem fatores em comum em K(X)[Y], logo temos o resultado que você queria.
Talvez tenha dado poucos detalhes, se for necessário, comentem aqui que edito a resposta!
written 13 months ago by Felipe Espreafico Guelerman Ramos 
O que me garante que, em \(K(X)[Y]\), a fatoração de \( g \) em fatores irredutíveis não pode ser feita da forma \(g(x,y)=f(x,y)^{n_1}g'_1(x,y)^{n_2}...g'_{t-1}(x,y)^{n_t} \), com \(g'_i(x,y)\in K(X)[Y]\)?
written 13 months ago by Maíra Duran Baldissera 
Entendi, as fatorações em \(K[X,Y]\) se mantêm em \(K(X)[Y]\). Brigadão, Felipe!
written 13 months ago by Maíra Duran Baldissera 

Oi Maira,

Se voce ficou satisfeita com a resposta do Felipe,

por favor aceitar oficialmente a resposta dele, clicando no "V" para "accept".

written 13 months ago by Herivelto Borges 
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