Questão 12(a)


87
views
0
12 weeks ago by
Olá pessoal,

Estou com problemas na questão 12 (a). Não estou conseguindo fazê-la sem "tirar da cartola" a resposta do item (b), que foi discutido em aula.

Tentei usar alguma coisa com a topologia final da função dada, ou usar a projeção dos pontos de \(\mathbb{R}^2\) sobre as retas, mas sem muito sucesso por enquanto.

Alguém pode dar uma dica?
Community: SMA5942

1 Answer


5
12 weeks ago by

Note que \(X = \{(a:b:c) \in \mathbb P^2: a^2 + b^2 \neq 0\}.\)

A razão para isso ser verdade é porque os pontos \((a,b,c)\) e \((-a,-b,-c)\) determinam a mesma reta.

Daí falta ver que \(X\) é a faixa de Mobius \(\mathbb M\). Tente usar a função \(f:[0,\pi]\times \mathbb R \to X\) dada por \(f(\theta,s) = (\cos(\theta):\sin(\theta): s)\) para obter a faixa de Mobius.

4

Eu fiz algo um pouco diferente do que o que o Hugo fez.

Primeiro, eu notei que utilizando a \(f : \mathbb R_{-}^3 \to X \) você consegue todos os pontos de \(X\) apenas com a imagem de \( \mathbb S^2 \setminus  \{(0,0, 1), (0,0, -1) \} \). Aí, para colocar a estrutura de variedade suave em \(X\), eu defini cartas que são restrições de \(f\) à abertos de \( \mathbb S^2 \setminus  \{(0,0, 1), (0,0, -1) \), nos quais \(f\) é injetora. 

Para o item b, eu notei que os pontos antípodas de \( \mathbb S^2 \setminus  \{(0,0, 1), (0,0, -1) \} \) tem mesma imagem pela \(f\), então, eu fiz \( (\mathbb S^2 \setminus  \{(0,0, 1), (0,0, -1) \}) / \thicksim  \), onde \(\thicksim\) é a relação que identifica os antípodas. Assim, eu conclui que \(X ≅ \mathbb P^2 \setminus \{p\} \).

written 12 weeks ago by Pedro H. Carvalho  
1

Estava pensando que era o fibrado tangente da esfera até ver nas anotações de aula que havíamos considerado retas orientadas naquele caso, mas aqui não consideramos orientação. Valeu!

written 12 weeks ago by Guilherme Nakassima  
Só uma observação. O domínio da minha \(f\) está errado. Tem que ser \([0,\pi]\times \mathbb R\). Ai temos que os pontos que precisam ser colados são \((0,t)\) e \((\pi,-t)\), com \(t\) variando na reta.
written 12 weeks ago by Hugo Cattarucci Botós  
1
não to vendo pq X é a faixa de mobius... eu tinha pensado que X era  \( \mathbb{P}^1 \times \mathbb{R} \) já que toda reta no plano pode ser especificada pela reta paralela a ela passando pela origem e a distância dela até a origem.
written 12 weeks ago by violeta  
Repare que a \(f\) é injetora quando restrita a \((0,\pi)\times \mathbb R\) e \(f(0,s) = f(\pi,-s)\), ou seja, a \(f\) falha em ser injetora em alguns pontos e para consertar isso vc tem que cola-los. A faixa de Mobius \(\mathbb M\) é o espaço topológico obtido de \([0,\pi]\times \mathbb R\)  ao colarmos \((0,t)\) e \((\pi,-t)\).  Podemos então definir a função \(g: \mathbb M \to X\), já que os pontos colados tem mesma imagem pela \(f\). Como vc colou os únicos pontos em que \(f\) falhava em ser injetora temos que \(g\) é injetora e como \(f\) já era sobrejetora temos que \(g\) é bijetora. Agora, só falta mostrar que é homeomorfismo.
written 12 weeks ago by Hugo Cattarucci Botós  
Please login to add an answer/comment or follow this question.

Similar posts:
Search »