Questão 12(a)


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5 months ago by
Olá pessoal,

Estou com problemas na questão 12 (a). Não estou conseguindo fazê-la sem "tirar da cartola" a resposta do item (b), que foi discutido em aula.

Tentei usar alguma coisa com a topologia final da função dada, ou usar a projeção dos pontos de \(\mathbb{R}^2\) sobre as retas, mas sem muito sucesso por enquanto.

Alguém pode dar uma dica?
Community: SMA5942

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5 months ago by

Note que \(X = \{(a:b:c) \in \mathbb P^2: a^2 + b^2 \neq 0\}.\)

A razão para isso ser verdade é porque os pontos \((a,b,c)\) e \((-a,-b,-c)\) determinam a mesma reta.

Daí falta ver que \(X\) é a faixa de Mobius \(\mathbb M\). Tente usar a função \(f:[0,\pi]\times \mathbb R \to X\) dada por \(f(\theta,s) = (\cos(\theta):\sin(\theta): s)\) para obter a faixa de Mobius.

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Eu fiz algo um pouco diferente do que o que o Hugo fez.

Primeiro, eu notei que utilizando a \(f : \mathbb R_{-}^3 \to X \) você consegue todos os pontos de \(X\) apenas com a imagem de \( \mathbb S^2 \setminus  \{(0,0, 1), (0,0, -1) \} \). Aí, para colocar a estrutura de variedade suave em \(X\), eu defini cartas que são restrições de \(f\) à abertos de \( \mathbb S^2 \setminus  \{(0,0, 1), (0,0, -1) \), nos quais \(f\) é injetora. 

Para o item b, eu notei que os pontos antípodas de \( \mathbb S^2 \setminus  \{(0,0, 1), (0,0, -1) \} \) tem mesma imagem pela \(f\), então, eu fiz \( (\mathbb S^2 \setminus  \{(0,0, 1), (0,0, -1) \}) / \thicksim  \), onde \(\thicksim\) é a relação que identifica os antípodas. Assim, eu conclui que \(X ≅ \mathbb P^2 \setminus \{p\} \).

written 5 months ago by Pedro H. Carvalho  
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Estava pensando que era o fibrado tangente da esfera até ver nas anotações de aula que havíamos considerado retas orientadas naquele caso, mas aqui não consideramos orientação. Valeu!

written 5 months ago by Guilherme Nakassima  
Só uma observação. O domínio da minha \(f\) está errado. Tem que ser \([0,\pi]\times \mathbb R\). Ai temos que os pontos que precisam ser colados são \((0,t)\) e \((\pi,-t)\), com \(t\) variando na reta.
written 5 months ago by Hugo Cattarucci Botós  
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não to vendo pq X é a faixa de mobius... eu tinha pensado que X era  \( \mathbb{P}^1 \times \mathbb{R} \) já que toda reta no plano pode ser especificada pela reta paralela a ela passando pela origem e a distância dela até a origem.
written 5 months ago by violeta  
Repare que a \(f\) é injetora quando restrita a \((0,\pi)\times \mathbb R\) e \(f(0,s) = f(\pi,-s)\), ou seja, a \(f\) falha em ser injetora em alguns pontos e para consertar isso vc tem que cola-los. A faixa de Mobius \(\mathbb M\) é o espaço topológico obtido de \([0,\pi]\times \mathbb R\)  ao colarmos \((0,t)\) e \((\pi,-t)\).  Podemos então definir a função \(g: \mathbb M \to X\), já que os pontos colados tem mesma imagem pela \(f\). Como vc colou os únicos pontos em que \(f\) falhava em ser injetora temos que \(g\) é injetora e como \(f\) já era sobrejetora temos que \(g\) é bijetora. Agora, só falta mostrar que é homeomorfismo.
written 5 months ago by Hugo Cattarucci Botós  
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