Sobre o exercício 5 da lista 3


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3 months ago by
Duas curvas planas afins equivalentes por afinidade têm mesmo grau? Tentei provar algo do tipo do jeito "feio", substituindo as variáveis, mas não consegui contornar a possibilidade de uma combinação linear dos coeficientes se anular depois da substituição. Alguém tem alguma sugestão de como prosseguir?

4 Answers


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3 months ago by
Certo. Tentarei escrever o que pensei até o momento, mas aproveitando sua pergunta alternativa.
Note que duas curvas planas afins têm mesmo grau se, e somente se, \( (x,y) \mapsto (x+a,y+b) \) e \( (x,y) \mapsto (ax + by,cx + dy) \), com \(ac-bd \neq 0 \), preservam o grau (é só reparar que \( (x,y) \mapsto (ax + by+e,cx + dy+f) \) é uma composição das transformações anteriores).

  •  \( (x,y) \mapsto (x+a,y+b) \)  preserva grau. De fato, considere uma curva na forma \( C: \sum_{i=0}^{degC}\sum_{j=0}^{degC}a_{ij} x^iy^j=0\). Depois de feita a substitução, teremos \( C: \sum_{i=0}^{degC}\sum_{j=0}^{degC}a_{ij} (x+a)^i(y+b)^j=0 \). Além disso,  \[ C: \sum_{i=0}^{degC}\sum_{j=0}^{degC}a_{ij} (x+a)^i(y+b)^j=0\] \[ \Leftrightarrow \sum_{i=0}^{degC}\sum_{j=0}^{degC}a_{ij} (x^i+ {i\choose 0}x^{i-1}a+...+a^i)(y^j+ {j\choose 0}y^{i-1}b+...+b^j)=0 \]. Como os termos dos produtos de cada parcela da soma com maior grau ainda são da forma \(a_{ij}x^iy^j \), e \(\sum_{i=0}^{degC}\sum_{j=0}^{degC}a_{ij}x^iy^j \neq 0\), por se tratar da expressão de \( C \), o grau é preservado.
  • \( (x,y) \mapsto (ax + by,cx + dy) \) preserva grau. Seguindo o mesmo raciocínio, \[ C: \sum_{i=0}^{degC}\sum_{j=0}^{degC}a_{ij} (ax+by)^i(cx+dy)^j=0\] \[\Leftrightarrow \sum_{i=0}^{degC}\sum_{j=0}^{degC}a_{ij} ((ax)^i+ {i\choose 0}(ax)^{i-1}by+...+(by)^i)((cx)^j+ {j\choose 0}(cx)^{i-1}dy+...+(dy)^j)=0) \]. A fim de provar que o grau é preservado, preciso analisar apenas os termos da soma que têm \(i+j=degC\), mostrando que eles não se anulam completamenteno fim das contas, mas não consigo pensar numa saída a partir dessa expressão feia. 
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3 months ago by

Você pode escrever
\[f=f_d+f_{d-1}+\cdots+f_1+f_0\]
Onde cada  \(f_i\) é homogêneo de grau i (ou nulo) e \(f_d=\prod\limits_{i=1}^d(a_ix+b_iy)\neq 0\).
Agora, basta observar que o mapa \( (x,y) \mapsto (ax + by,cx + dy) \) preserva o grau de \(f_d\).
(na verdade, de todo \(f_i\)).

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3 months ago by
Sim, têm o mesmo grau. É sempre bom mostrar algum exemplo em que você trabalhou e tentar apontar um  trecho ou outro onde  está a confusão.
Pergunta alternativa: As  translações \((x,y)\mapsto (x+a,y+b)\) preservam o grau? E os mapas (induzidos por \(GL_2(K)\)) da forma  \((x,y)\mapsto (ax+by,cx+dy)\)?
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3 months ago by
Entendi! Bom, depois disso, pensei que, para concluir o item a) do exercício, basta tomar a mudança de coordenadas \( (x,y,z)\mapsto (ax+by+ez,cx+dy+fz,z) \), porque, \( C \) e \(K \) equivalentes por afinidade \( \Rightarrow \) têm mesmo grau, então o fecho projetivo é obtido quando multiplicamos \( C(x/z,y/z,1), K(\frac{ax+by}{z'} + e,\frac{cx+dy}{z'} + f,1) \)por \(z^{degC=degK}, z'^{degK=degC}\), respectivamente. Note que, podemos tomar \(z'=z \) e que \(K(\frac{ax+by}{z} + e,\frac{cx+dy}{z} + f,1) =C(x/z,y/z,1) \). Logo, \[z^{degC=degK}K(\frac{ax+by}{z} + e,\frac{cx+dy}{z} + f,1) =z^{degC=degK}C(x/z,y/z,1) \] \[\Rightarrow K(ax+by + ez,cx+dy + fz,z) =C(x,y,z) \]
Mas não estou segura quanto ao nível de detalhe da prova (assumindo que esteja certa haha). É suficiente?
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