Questão 11 - Lista 2


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4 months ago by
Anonymous
Alguém poderia dar alguma ideia sobre este exercício por favor?
Desde já agradeço.
Community: ALGEBRA I -2018

acho que a essência do exercício é mostrar que um grupo de ordem 4:

-ou é gerado por um elemento, ou é gerado por dois;
-qualquer grupo de ordem 4 gerado por dois elementos é isomorfo ao \(Z/\langle 2\rangle \times Z/\langle 2\rangle\) .

written 4 months ago by Estevão Lobo  
Onde entra o fato de G não ser cíclico?
written 4 months ago by Danielle Lopes  

\(G=\{1,a,b,c\}\) não ser cíclico implica que  G terá pelo menos 2 geradores e, nesse caso, exatametemente 2 geradores,  ambos de ordem 2.

Note que \((1,0),(0,1)\) são os geradores de \(\mathbb{Z}/\langle 2\rangle \times \mathbb{Z}/\langle 2\rangle\).

written 4 months ago by Herivelto Borges  
Oi professor!

Estou confusa.
Havia entendido que ser cíclico é ter ao menos um cara que gera o grupo, logo, pensei, não ser cíclico é não ter ninguém que o gera.
written 4 months ago by Danielle Lopes  
Oi,
Deixa eu tentar esclarecer. Quando disse "G terá pelo menos 2 geradores", quero dizer que para gerar o grupo G é necessário usar pelo menos 2 elementos. Ou seja \(G=\langle g_1,g_2\rangle\) ou \(G=\langle g_1,g_2, g_3\rangle\) ou \(G=\langle g_1,g_2, g_3,g_4 \rangle\), etc.


Não quero dizer que G tem 2 elmentos que "individualmente" geram
o grupo.
written 4 months ago by Herivelto Borges  
Entendi.
Obrigada.
written 4 months ago by Danielle Lopes  
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