Questão 28.c) - Lista 3


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3 months ago by
Olá pessoal!
Gostaria da opinião de vcs a respeito da minha resolução, pois não estou muito segura sobre o que fiz. Desde já agradeço.

Se G é cíclico e de ordem n então ∃ g ∈ G t.q. o(<g>)=n. Sabemos que todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico, então suponha H ≤ G t.q. <g^d>=H. Temos que (g^n)=e => (g^d)^(n/d)=e => o(g^d)=n/d => H é único subgrupo de ordem d.

*Minha insegurança está, principalmente, na parte de poder afirmar que H é o único subgrupo :/ ...acho que preciso garantir algo, mas o que?
Community: ALGEBRA I -2018

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3 months ago by
Acredito que o ideal fazer como ele fez em sala ao tomar um subgrupo de G de ordem d não necessariamente igual ao gerado por g' (elemento específico de ordem d). E ele o fez da seguinte forma:

Tome N = <g^t> um subgrupo de ordem d. Desta forma, temos que, se n é a ordem de g, então d = n/(n,t).

Com isso, temos que d divide n, ou seja, n/d = (n,t).

Note que, além disso, mostramos que <g^k> = <g^(n,k)>, com n ainda sendo a ordem de g.

Portanto, temos N = <g^t> = (prop acima) <g^(n,t)> = <g^(n/d)> (pela igualdade (n,t) = n/d) = H.


Desta forma, note que escrevemos um subgrupo de ordem d como gerado por uma potência arbitrária de um elemento qualquer no grupo que, apesar de escrito de 3 formas distintas, se referem ao mesmo subgrupo.

Espero ter ajudado =)


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Obrigada Lucas, ajudou sim!  :)
written 3 months ago by Danielle Lopes  
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