Lista 2, Questão 27


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4 months ago by
Enunciado: Se H $\le S_n$Sn, então
  • Ou $\sigma$σ $\in H$H é par;
  • Ou o número de permutações pares e ímpares em H são iguais.
Minha resolução segue. Gostaria de uma orientação. Creio que esteja pensando de modo errado.

Lembre-se: a operação binária em  $S_n$Sn é a composição de permutações. A seguir, uma tabela com as possíveis composições de  $\sigma$σ , $\mu$μ  $\in H.$H.  

$\sigma$σ $\mu$μ   $\sigma$σ  $\circ$  $\mu$μ
Par Impar Impar
Par Par Par
Impar Impar Par
Toda permutação em  $S_n$Sn ou será par ou será ímpar. Tenha em mente um subgrupo H.
  • Se todas as permutações forem pares $\Rightarrow$ acabamos.
  • Temos permutações pares e permutações ímpares em números iguais  $\Rightarrow$ acabamos.
Temos os dois casos, que devemos provar não serem verdades:
  • Se todas as permutações forem ímpares;
  • Temos permutações pares e permutações ímpares em números diferentes.
Vamos supor que todas as permutações em H sejam ímpares (absurdo). As permutações pares serão obtidas, necessariamente, na composição de duas quaisquer ímpares.
Para o segundo caso, supondo (absurdo)
  • m ímpares;
  • k pares;
Sem perda de generalidade, vamos supor  $m>n.$m>n.  Podemos compor duas permutações de 3 modos aqui:
  • Par  $\circ$ Par  $\Rightarrow$  $C_{k,2}$Ck,2 =  $k\cdot\left(k-1\right)\div2$k·(k1)÷2  Resultando Par.
  • Impar  $\circ$ Impar  $\Rightarrow$  $C_{m,2}$Cm,2 = $m\cdot\left(m-1\right)\div2$m·(m1)÷2  Resultando Par.
  • Par  $\circ$ Impar  $\Rightarrow$  $m\cdot n$m·n. Resultando Impar.
Precisamos provar  $k\left(k-1\right)+m\left(m-1\right)=2mn$k(k1)+m(m1)=2mn
E isso só vale para alguns valores de m e n ( resolvendo, podemos notar que m-k =  $\frac{-1+\sqrt{\left(1+8m\right)}}{2}$1+(1+8m)2 ).




Community: ALGEBRA I -2018

1 Answer


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4 months ago by

Acho que onde você supõe \(m > n\) sem perda de generalidade há, na verdade, perda de generalidade (porque existir mais ímpares é diferente, a priori, de existir mais pares). Daí pra frente parece que ficou complicado demais, até porque existe a possibilidade de você compor duas permutações, achar uma nova, depois compor outras duas e achar essa mesma.

A forma como eu fiz esse exercício foi a seguinte: Eu supus que existia uma permutação ímpar \(\sigma\) (isto é, nem todas são pares) com a intenção de mostrar que, no final das contas, metade seria ímpar e metade seria par\(^1\). E, para fazê-lo, pensei em uma bijeção entre esses dois conjuntos, \(I:=\) as permutações ímpares de \(H\) e \(P:=\) as permutações pares de \(H\) (note que eu posso fazê-lo já que, por hípotese, existe pelo menos uma permutação ímpar e existe pelo menos uma permutação par, a identidade). Tente imaginar que bijeção é essa :)
________________________________________________________

\( ^1\): Note que isso basta para concluir a prova, já que eu mostrei que negar uma das das proposições implica na outra ser verdadeira, então uma sempre será verdadeira e, por fim, o "ou" sempre será verdadeiro.

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Formalizando sua resolução: Seja $\sigma$σ $\in I$I (lembando que $Id$Id $\in P$P).
vamos definir a bijeção $\phi:P\rightarrow I$ϕ:PI tal que $\phi\left(\mu\right)=\sigma$ϕ(μ)=σ  $\circ$  $\mu.$μ. Ela associa, a cada permutação  $\mu$μ par uma permutação ímpar, que é a composição com a ímpar $\sigma.$σ.

Injetiva:
Sejam  $\mu_1,\mu_2$μ1,μ2 $\in P$P
Então,   $\phi\left(\mu_1\right)=\phi\left(\mu_2\right)\Rightarrow\sigma\circ\mu_1=\sigma\circ\mu_2$ϕ(μ1)=ϕ(μ2)σμ1=σμ2  $\Rightarrow$  $\mu_1=\mu_2.$μ1=μ2.

Sobrejetiva:

Seja  $\gamma\in I.$γI. Então $\phi\left(\sigma^{-1}\circ\gamma\right)=\gamma.$ϕ(σ1γ)=γ.   
written 4 months ago by Manoel Netto  
[...] até porque existe a possibilidade de você compor duas permutações, achar uma nova, depois compor outras duas e achar essa mesma.

Exatamente, Estevão. Considerei apenas as composições de duas permutações. Claro que podemos ir compondo muitas vezes. Por isso fiquei com o "pé atras".


written 4 months ago by Manoel Netto  
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