Testinho 3 , questão [inversa]


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3 months ago by
Galera fiz  a seguinte solução para a questão [inversa], do testinho 3 :

Se g é uma inversa à esquerda de f , então f é injetora, logo

gof = Id(a) = g( f(a) ) = af(a) = f(a)   ( I )

Sendo h-1 sua inversa a esquerda , pois h é bijetora , temos que :

h-1 o f = h-1( f(a))

De ( I ) vem que

h-1(g(f(a))) = h-1 o g(f(a)) = h-1 o g o f

Portanto uma inversa a esquerda de h é dada por h-1 o g o f

Gostaria de saber se a resolução esta certa...

PS: Sugestões são bem vindas ^^ .
Acho que você está misturando uma parte de uma demonstração feita em sala aqui... Tente ver o que dá essas compostas não trabalhando diretamente com as funções, mas calculando elas num ponto \(x\).
written 3 months ago by Leandro Aurichi  
Desse jeito?
f(x) = x, g(x) = x e h-'(x) = x, pois estas são identidade, onde x ∈ A.

E como g é inversa a esquerda de f temos que:

gof = g(f(x)) = g(f(h-1(x)) = gof(h-1(x)) = gofoh-1
written 3 months ago by Andson Nunes da Silva  
Cuidado na última linha - os termos das pontas são funções, enquanto os termos do meio são funções calculadas em pontos (ou seja, se as funções forem de reais em reais, os termos do meio seriam números reais).
O que eu queria dizer é mais nessa linha: se você já souber que \(g\) é a inversa à esquerda de \(f\), então você consegue fazer contas do seguinte tipo:
\[h(g(f(x))) = h(x)\]
Aqui só usei o fato que \(g(f(x)) = x\) por esta composta ser a identidade.
written 3 months ago by Leandro Aurichi  

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3 months ago by
Acho que a resolução esta certa, porque como h é bijetora, possui inversa única, onde a inversa a direita é igual a inversa a esquerda, logo, tanto h-1 o g o f quanto g o f o h-1 são inversas de h.
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