Dúvidas na Lista 3 (Parte II)


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3 months ago by
2. Sejam a e b números naturais. Dizemos que b é um múltiplo de a se existir um natural k tal que b = k ·a. Vamos denotar por  \(\mathbb{N}^{\ast}\) o conjunto dos números naturais sem o número 0. Dado \((m,n) \in  \mathbb{N}^{\ast} \times \mathbb{N}^{\ast}\), o mínimo múltiplo comum de m e n, denotado por \(mmc(m,n)\), é o menor múltiplo comum não nulo entre\( m\) e \(n\), conforme o nome indica. Por exemplo,
mmc(2, 12) = 12. Visto que os múltiplos de 2 são {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24...} e os múltiplos de 12 são {0, 12, 24, 36,...}, nesse caso o menor múltiplo comum não nulo é 12. É possível determinar uma função
\[ \begin{array}{cll}
m \colon \mathbb{N}^{\ast} \times \mathbb{N}^{\ast}& \mapsto & \mathbb{N}\\
(m,n)& \mapsto & mmc(m,n) \end{array} \]

Minha Solução:
É possível determinar essa função, por exemplo,
Dado o conjunto A, como o conjunto dos múltiplos de m, sendo m = 4, e B, como o conjunto de múltiplos de n, sendo n = 8.

mmc (m) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...}
mmc (n) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}

                                                                       f: N∗ × N∗ → \(\mathbb{N}\)
                                                                            m,n → mmc (m,n)

Todos elementos de A, vão em um elemento de B. E sempre haverá um menor múltiplo comum entre m e n. No exemplo acima, o menor múltiplo comum, não nulo, entre 4 e 8, é o próprio 8
Tem vários erros nessa solução. O que é \(mmc(m)\)?  Um exemplo não é suficiente para garantir que é função. Você precisa pensar em um argumento geral. Vamos por etapas. O que você precisa verificar pra que essa relação seja função?
written 3 months ago by psfsilva  
Se existe uma regra; se possui domínio e contradomínio, e que cada elemento do domínio correspondem a alguém do contradomínio; e se um elemento do domínio não se relaciona com dois elementos do contradomínio.
written 3 months ago by Gabriel Santana  
Certo. E nesse exercício qual é a regra?
written 3 months ago by psfsilva  
\[(m,n) \mapsto  mmc(m,n)\]
written 3 months ago by Gabriel Santana  
O que você precisa fazer para provar a primeira parte do que vocẽ disse: "cada elemento do domínio se corresponde a um elemento do codomínio"?
written 3 months ago by psfsilva  
A partir dessa regra
written 3 months ago by Gabriel Santana  
Gabriel você está começando a andar em círculos. Pense no que a regra faz. Se eu escolho, por exemplo, (2,3). Ele vai em alguém?
written 3 months ago by psfsilva  
Sim,
\[(2,3) \mapsto  6\]
written 3 months ago by Gabriel Santana  
A regra leva m, n no menor múltiplo comum entre eles, ne?
written 3 months ago by Gabriel Santana  
Isso! O que você precisa garantir para que todo par vá em alguém?
written 3 months ago by psfsilva  
Que seja dois números naturais não nulos?
written 3 months ago by Gabriel Santana  
Não. Tomar dois naturais não nulos é apenas para evitar considerar 0 como \(mmc\). Afinal \(0\) é múltiplo de qualquer número.
written 3 months ago by psfsilva  
Que exista um número que é múltiplo tanto de m quanto n
written 3 months ago by Gabriel Santana  
Isso! Você precisa garantir a existência do mínimo múltiplo comum entre m e n. Isso mesmo!
written 3 months ago by psfsilva  
Agora precisamos começar a trabalhar nisso. Você tem dois números naturais não nulos. Ok? me diga ao menos um múltiplo comum deles dois. Observe que eu não quero um exemplo. Eu quero algo que vale para quaisquer dois números naturais não nulos m e n.
written 3 months ago by psfsilva  
Tipo, ∃ k ∈ \(\mathbb{N^{*}}\); k = m. n?
written 3 months ago by Gabriel Santana  
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Isso mesmo! Mas você precisa garantir que existe não só múltiplos comuns, mas um menor entre eles. Eu sugiro você ir até as notas e olhar no fim da página 31. Tem uma informação lá que pode te ajudar a garantir isso.
written 3 months ago by psfsilva  
n, m ∈ \(\mathbb{N}\), n < m ⇔ n ⊂ m.
Tipo, n:= {0, 1, ... , n - 1}, m = {0, 1, ..., n, n - 1, ..., m - 1}?
written 3 months ago by Gabriel Santana  
Não. É a última informação da página. Pense no que você quer. Você precisa garantir que existe o menor múltiplo comum para quaisquer dois números. Leia com cuidado pensando no que você quer.
written 3 months ago by psfsilva  
''Como fazemos para comparar se um conjunto é “maior” que outro? Nor-
malmente comparamos, observamos se um conjunto “cabe” no outro. E é

exatamente o que a definição formal traduz:

n, m ∈ N,n < m ⇔ n ⊂ m.
Exemplo 1.3.1:
3 < 5, pois 5 := {0, 1, 2, 3, 4} e 3 := {0, 1, 2}.

· Uma das propriedades que essa relação satisfaz é o fato de todo S subcon-
junto não vazio dos naturais possuir um menor elemento.''
written 3 months ago by Gabriel Santana  
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Pense um pouco Gabriel, você tem que o conjunto dos múltiplos de dois números têm ao menos um elemento lá dentro. Quais das informações que você escreveu anteriormente te garante que esse conjunto tem um elemento mínimo? Faça um recorte. Use apenas o que vc precisa.
written 3 months ago by psfsilva  
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