Questão teste sobre Espaço Projetivo


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Considere \(k:=\mathbb{F}_p\) e espaço projetivo \(\mathbb{P}^n_k\). Quantos elementos existem no espaço projetivo? Usem a definição de espaço projetivo presente na lista 4!

a)\(p^{n}\)


b)\(\frac{p^n - 1}{p-1}\)

c)\(\frac{p^{n+1} - 1}{p - 1}\)

d)\((p-1)^n\)

e)\(p^n - p\)

Community: Algebra I-ICMC-2017

2 Answers


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6 months ago by

Lembrei desse vídeo legal que fala, entre outras coisas, da reta projetiva complexa..Se alguém está tendo dificuldade em imaginar esses grupos projetivos, talvez isso possa ajudar (ou talvez não, mas vai que..):

https://www.youtube.com/watch?v=3Eben6cFZds&list=PLSiVqzXEpSr-5yYbKUQkV8G_bjd2g9OtG&index=5

A reta projetiva está em 11:50

 

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7 months ago by

Note que existem pn+1-1 vetores não-nulos em kn+1. Como o espaço projetivo consiste das retas que passam pela origem de kn+1, fixemos um dos pontos destes vetores, obtendo um total de pn-1vetores não-nulos que passem pela origem.

Cada um desses vetores gera uma reta que passa pela origem. Porém, também devemos notar que vetores múltiplos geram a mesma reta. Como, dado um vetor, existem p-1 vetores múltiplos deste, estamos contando p-1 vezes cada reta.

Assim, existem  $\frac{p^n-1}{n-1}$pn1n1  elementos no espaço projetivo.

Alternativa b)

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