Questão 2, Lista 2


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4 months ago by
Bom dia, gostaria de uma sugestão de como usar a hipótese que \[mdc(m,n)=1\] para ajudar na prova.

Desde já, agradeço a atenção.
Community: ALGEBRA I -2018

Pensa o que acontece com o mmc(a, b) se o mdc(a, b) = 1

EDIT: na verdade eu acho que isso só complica as coisas (mas pense nisso no ex. 3)

Para esse exercício, note que \((ab)^{mn} = a^{mn}b^{mn} =1\cdot1= 1\), já que \(ab=ba\). Agora suponha \( p<mn\) tal que \(p = min\{q \in \mathbb{Z^{>0}}: (ab)^{q} = 1) \). Use a hipótese do \(mdc\) pra chegar numa contradição.

written 4 months ago by Estevão Lobo  

2 Answers


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4 months ago by
Nossa hipótese é de que \(o(ab)=mn\)
Faz sentido ver que \(\langle ab \rangle=\{a^{i}b^{j}:1\leq i \leq m, 1 \leq j, \leq n\}\)
Como obtemos, então, a partir de \(ab\) o elemento \(a\)?
Observe que \(a^m=1\) e \(b^n=1\). Então, façamos \(ab^m\). Suponha, sem perda de generalidade que \(m>n\).
Assim, \(ab^m=a^{m}b^{m}=a^{m}b^{nq_1+r_1}=b^{nq_1+r_1}=b^{r_1}\) e multiplicando sucessivamente por \(ab^m\), ou seja, \(b^m\) teremos \(b^{r_2},b^{r_3},...,b^{r_n}\)
Como \((m,n)=1\), então temos que \(\{r_1,...r_n\}={1,...,n}\) (não necessariamente na mesma ordem). É aí que precisamos da hipótese de serem relativamente primos. Caso contrário, não poderíamos garantir a afirmação anterior. Com isso, conseguimos \(a\) (de forma análoga) e \(b\) em \(\langle ab \rangle\) e aí conseguimos todos os \(\{a^{i}b^{j}:1\leq i \leq m, 1 \leq j, \leq n\}\).

Você pode verificar a afirmação que fiz sobre o mdc, mas ela é bem observável na aritmética modular. Experimente pegar dois números relativamente primos \(a\) e \(b\) e fazer \(b, 2b, 3b... (mod a)\). Percebe que será exatamente \(\{1,2,...,a\}\). É isso que fazemos para chegar aos \(b^{r_1},b^{r_2},...,b^{r_n}\), veja que são exatamente os \(b^m,b^{2m},...,b^{nm}\) e portanto \(b^{1},b^{2},...,b^{n}\).
Podemos fazer o mesmo para \(a\) e aí acabou o problema.

Espero ter ajudado.
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4 months ago by
Eu só usei no final quando provei que o(ab) = mmc(a,b) (de maneira análoga ao exercício 1c), pois existe uma fórmula que diz que mmc(a,b).mdc(a,b) = a.b
Observe que sem a hipótese \(mdc(o(a), o(b))=1\), não necessariamente temos \(o(ab) = mmc(a,b)\), por exemplo,  tome \(b=a^{-1}\).
written 4 months ago by Herivelto Borges  
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