Sobre o exercício da aula de hoje.


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4 weeks ago by
Se  $G$G  é um grupo de Lie e  $W$W  é uma vizinhança de  $1_G$1G  em  $G$G , então existe   $V\subset W$VW  vizinhança de  $1_G$1G  tal que  $\forall g,h\in V$g,hV ,  $g.h^{-1}\in W$g.h1W . (se não estou enganado)

Minha ideia é que se definirmos  $f:GxG\rightarrow G$ƒ :GxGG com  $f\left(g,h\right)=g.h^{-1}$ƒ (g,h)=g.h1 ,  $f$ƒ   é contínua e portanto  $f^{-1}\left(W\right)$ƒ 1(W) é um aberto em  $G\times G$G×G , note que   $\left(1_G,1_G\right)\in f^{-1}\left(W\right)$(1G,1G)ƒ 1(W) (pois  $f\left(1_G,1_G\right)=1_G$ƒ (1G,1G)=1G )  então como as caixas abertas geram os abertos na topologia produto, existem   $A_1,A_2\subset G$A1,A2G  abertos tais que  $\left(1_G,1_G\right)\in A_1\times A_2\subset f^{-1}\left(W\right)$(1G,1G)A1×A2ƒ 1(W) , note que se tomarmos  $V=A_1\cap A_2\cap W$V=A1A2W ,  $V$V  é aberto não nulo pois    $1_G\in A_1$1GA1  , $1_G\in A_2$1GA2 e  $1_G\in W$1GW e temos que para todo  $g,h\in V$g,hV ,  $\left(g,h\right)\in V\times V\subset A_1\times A_2\subset f^{-1}\left(W\right)$(g,h)V×VA1×A2ƒ 1(W) logo  $g.h^{-1}=f\left(g,h\right)\in W$g.h1=ƒ (g,h)W .  (note que aqui só usamos que  $G$G é grupo topológico)

Gostaria de saber se há algum erro nisso.
Community: SMA5942
Boa! Não tem nenhum erro, ótima resposta!
written 25 days ago by Carlos Henrique Grossi Ferreira  

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