Os jogos de Rothberger e o ponto-aberto são duais


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5 months ago by
A pergunta é: "Seja σ uma estratégia para o jogador II no jogo ponto-aberto. Mostre que {σ(x):x∈X} é uma cobertura para X.", mas se a estratégia do jogador 2 formar uma cobertura para X, então o jogador 1 ganha. Quer dizer que algum x∈X, o jogador 1 não pode escolhê-lo durante o jogo?
Acho que o maior problema aqui foi entender que estamos falando só da possíveis jogadas do Jogador II na primeira rodada e não de uma partida completa (veja a resposta do Renan abaixo).
written 5 months ago by Leandro Aurichi  

2 Answers


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5 months ago by
Guga  
Pense melhor no que é esse conjunto que você quer mostrar que é cobertura.
O que muda quando você varia o x no seu conjunto e, mais importante, o que não varia?
Note que o jogador I ganha se as respostas do II para as suas jogadas formarem uma cobertura. Porque esse conjunto não te dá isso?
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5 months ago by
Primeiro, é importante ter claro em mente o significado da notação \(\sigma(x)\).

Se \(\sigma\) é a estratégia do Jogador II, então o domínio de \(\sigma\) são sequências finitas de pontos de \(X\). Vejamos mais demoradamente o que isso significa.

  • Suponha que uma partida \(P\) tenha acabado de começar, e o Jogador I escolheu \(x_0\in X\). Nesse caso, se o Jogador II está usando a estratégia \(\sigma\), então sua resposta é um aberto que contem \(x_0\), o qual denotamos por \(\sigma((x_0))\) - mas no dia-a-dia preferimos escrever \(\sigma(x_0)\).
  • Agora, se \(x_1\) é o lance seguinte do Jogador I, então a resposta do Jogador II segundo a estratégia \(\sigma\) é um aberto que contém \(x_1\), o qual denotamos por \(\sigma((x_0,x_1))\).
  • Em geral, \(\sigma((x_0,\dotso,x_n))\) é a resposta do Jogador II na \(n\)-ésima rodada, onde \(x_n\) foi o último lance do Jogador I.

Formalmente, isso significa que a estratégia \(\sigma\) "se lembra" das rodadas anteriores na hora de decidir uma nova jogada.

Essa discussão é importante devido a sua observação: " mas se a estratégia do jogador 2 formar uma cobertura para X, então o jogador 1 ganha."

O Jogador I ganha uma partida \(P\) se ao final da partida \(P\), os abertos escolhidos pelo Jogador II naquela partida \(P\) cobrirem o espaço. No entanto, o conjunto \(A:=\{\sigma(x):x\in X\}\) não corresponde aos abertos jogados durante uma partida: pela nossa discussão inicial, o conjunto \(A\) é a coleção de todas as primeiras jogadas possíveis do Jogador II segundo a estratégia \(\sigma\).

Agora, o fato de \(\{\sigma(x):x\in X\}\) ser uma cobertura aberta para \(X\) segue da definição: dado \(x\in X\), \(\sigma(x)\) é um aberto de \(X\) tal que \(x\in \sigma(x)\), logo...
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