Lista 1, Questão 24


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4 months ago by
Enunciado: Prove que Q não é finitamente gerado.

Minha resolução. Gostaria de saber se alguém resolveu de outra maneira. Na verdade, não encontrei uma solução simples o suficiente diferente dessa.
Apontem possíveis erros também.

Suponha por absurdo que Q é finitamente gerado, i.e., < $\left\{q_1,\ldots,q_k\right\}${q1,…,qk} >  = Q. Então, existem  $c_1,\ldots,c_k$c1,…,ck  $\in$ Z, tais que, para todo racional  $r$r,  $r=\sum_{i=1}^kc_iq_i$r=i=1kciqi
Pondo   $q_i=\frac{a_i}{b_i}$qi=aibi   ,  $\forall i\in\left[1,k\right]$i[1,k], $r=\sum_{i=1}^k\frac{c_i\cdot a_i}{b_i}=\frac{\alpha}{\prod^{^k}_{i=1^{b_i}}}$r=i=1kci·aibi =αki=1bi em que  $\alpha$α pode ser determinado por um produto de  $c_i$ci e  $a_i.$ai. Então, escrevemos todo racional como  $r=\frac{\alpha}{\prod^{^k}_{i=1}b_i}$r=αki=1bi .
Agora, escolhemos um número primo, digamos  $p$p , tal que  $p$p divida  $\prod_{^{^k}i=1}b_i$ki=1bi . Então, o racional  $\frac{1}{p}$1p  é tal que $\frac{1}{p}=\frac{\alpha}{\prod_{^{^k}i=1^{b_i}}}$1p =αki=1bi   $\Leftrightarrow\prod_{^{^k}i=1^{b_i}}=\alpha\cdot p$ki=1bi=α·p . Mas então  $p$p divide  $\prod_{^{^k}i=1}b_i$ki=1bi ,contrariando nossa hipótese. Logo, Q não é finitamente gerado.
Community: ALGEBRA I -2018
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Eu comecei a escrever a minha solução, daí vi que ela estava errada.

Então eu refiz de outra maneira, comecei a escrever mais uma vez e, mais uma vez ela estava errada.

Bem, ali onde você escreveu \(c_1,...,c_k \in \mathbb{Q}\) não deveria ser \(\in \mathbb{Z}\)?
written 4 months ago by Estevão Lobo  
Sim! São inteiros. Já corrigi. Obrigado.
written 4 months ago by Manoel Netto  

3 Answers


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4 months ago by
Suponha por absurdo que é finitamente gerado, digamos Q = <p_{1}/q_{2},...,  p_{n}/q_{n}> 
p_{i}, q_{i} são inteiros e mdc(p_{i}, q_{i})=1.

Seja P primo tal que P não divide q_{i}, para todo i. Como 1/P é racional, existem a_{1},...,  a_{n} inteiros tais que
1/P =  a_{1}  (p_{1}/ q_{1}) + ... + a_{n}  (p_{n}/ q_{n}) = B/( q_{1}. ... .   q_{n}).
Logo
q_{1}. ... .   q_{n} = B P,
isto é, P divide (q_{1}. ... .   q_{n}), o que é absurdo com o fato que P não divide nenhum q_{i}.
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Acho que como estamos falando de racionais não faz sentido falar de \(mdc\) e divisão (dentro de \(\mathbb{Q}\) qualquer racional divide qualquer racional).
written 4 months ago by Estevão Lobo  
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Entendi agora, valeu!
written 4 months ago by Estevão Lobo  
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4 months ago by
Os p_{i} e q_{i} são inteiros.
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4 months ago by
A ideia é escrever o conjunto finitamente gerado com racionais na forma de frações irredutíveis. E pegar um P primo que não divide nenhum dos denominadores.
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