Um bom exercicio pré-pizzas!!


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8 months ago by

Deixemos os gupo cíclico \(H:=\langle g=( 1 2 3 4 5)\rangle  \leq S_5\) agir em \(\mathbb{R}^5\) da forma cíclica usual:
\[( 1 2 3 4 5)\cdot (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(x_2,x_3,x_4,x_5,x_1)\].

(a) Descreva os tipos de vetores que compōe cada conjunto a seguir: \(Fix (g)\), \(Fix (g^2)\), \(Fix (g^3)\), \(Fix (g^4)\) e \(Fix (g^5)\).

(b) Como cada um dos conjuntos anteriores se relaciona com a estrutura cíclica de \(g^i\), para cada \(i=1,\cdots,5\)?

(c) Voce consegue generalizar?

Community: Algebra I-ICMC-2017

3 Answers


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8 months ago by

A ação pega o 5-ciclo e muda as entradas do vetor de R5 de acordo com a imagem da função que representa o 5 ciclo,o 5-ciclo (12345) é na verdade a função f tal que
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
ou seja, (12345)(x1 x2 ..x5)= (x2 x3 x4 x5 x1)

a) Fazendo alguns casos e aproveitando os inversos,notamos que #fix(g^i) = 1 para 1<= i <=5 , como exemplo ,vou utilizar um dos casos e os outros seguem de forma análoga.
(x2 x3 x4 x5 x1) = (x1 x2 x3 x4 x5) => x1=x2=..x6 => Os vetores dentro de fix(12345) são da forma (a,a,a,a,a)
De forma análoga e fácil notar que os outros vetores também serão dessa forma.

b) a ordem de todo elemento do grupo é 5 ,e o fix de todo mundo tem apenas o elemento (a,a,a,a,a,) ,onde o a aparecd 5 vezes repetidos.

c)
É um bom artifício utilizar outros casos particulares para se ter uma idéia da conjectura que queremos demonstrar,então vamos fazer o teste com (123456)

o(123456)= 6 => |Fix(123456)| = 1 , de fato,verifica-se isso.
o((123456)²) = 6/mdc(6,2)= 6/2 = 3 ,se fizermos o fix((123456)²) teremos vetores da forma (ababab) ,que tem exatamente 3 repetições "ab"
Fazendo o próximo, que no caso é o g³ = (123456)³ ,que tem ordem 2 ,vamos ter vetores da forma (abcabc) ,que tem duas repetições abc

As coisas parecem interessantes até aqui,vamos pegar um caso um pouco maior,digamos (123456789)^5 ,um elemento que tem ordem 1,notamos o unico vetor fixado por este elemento é o (a ....a) onde existe apenas uma repetição aa..a .
Não consegui demonstrar a validade deste resultado,particularmente estou achando ele muito forte ,mas foi o que eu percebi com alguns exemplos.
Se o(g^i ) = d então o fix(g^i ) é formado por elementos da forma (a1 a2..ak a1 a2...ak a1 a2..ak ) ,onde k = n/d

Novamente,eu não tenho certeza desse resultado,foi só uma observação que eu achei interessante compartilhar.

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8 months ago by

Vamos apenas complementar o raciocínio do usuário PulgaAtrásDaOrelha, procurando formalizar a generalização desse problema sobre a ação de permutações em n-uplas.

Consideremos então \(G\) um grupo finito com \(m\) elementos e a ação de \(S_n\) sobre \(G^n\) dada por \(\pi \cdot (g_1, \dots, g_n) = (g_{\pi(1)}, \dots, g_{\pi(n)})\).

Queremos entender como se comportam os conjunto \(Fix(\pi)\) nessa ação. Analisaremos primeiramente o caso em que \(\pi\) é um k-ciclo da forma \((a_1 \dots a_k)\), sendo cada \(a_i\) um número de 1 até n. Nesse caso, se um elemento \((g_1,\dots,g_n) \in G^n\) pertence a \(Fix(\pi)\), teremos então

\[(g_1 , \dots, g_{a_1}, \dots, g_{a_k}, \dots, g_n) = (g_1, \dots, g_{a_2}, \dots, g_{a_1}, \dots, g_n).\]

 

A ideia é a seguinte: a ação da permutação apenas troca coordenadas de lugar e, nesse caso, troca de acordo com a estrutura do k-ciclo. Temos que analisar condições sobre coordenadas que são mudadas de lugar e coordenadas que não são alteradas para entendermos a "cara" dos elementos de Fix(\(\pi\)). Se uma coordenada não é trocada pelo k-ciclo, então qualquer elemento do grupo pode estar nessa coordenada pois de qualquer forma essa coordenada estará fixada. Agora, para as coordenadas que são trocadas, temos que \(x_{a_1}\) é trocado por \(x_{a_2}\), que é trocado por \(x_{a_3}\) e assim por diante, de forma que se queremos que tais coordenadas sejam fixadas, devemos ter a cadeia de igualdades \(x_{a_1} = x_{a_2} = \dots = x_{a_k}\).

 

A conclusão é que se um dado elemento de \(G^n\) é fixado por um k-ciclo, então todas as coordenadas que são permutadas por tal k-ciclo devem ser iguais. Com isso podemos concluir a cardinalidade de Fix(\(\pi\)), no caso em que \(\pi\) é um k-ciclo: precisamos escolher \(n-k\) elementos (os que não são trocados pelo k-ciclo) e mais um elemento que representará todos as \(k\) coordenadas que são de fato permutadas pelo k-ciclo, assim, temos \(n-k+1\) "graus de liberdade" para a escolha das coordenadas, sendo que para cada escolha temos os \(m\) elementos do grupo disponíveis. \(|Fix(\pi)| = m^{n-k+1}\).

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8 months ago by

Buscando apenas finalizar o raciocínio anterior, podemos utilizar a mesma ideia para estudarmos a cardinalidade de \(Fix(\pi)\) para qualquer permutação em \(S_n\). A ideia essencial é decompor tal permutação em ciclos,e usar o raciocínio acima de que se um elemento é fixado por um ciclo, então todas as coordenadas que são permutadas pelo ciclo devem ser iguais. O estudo desse caso mais geral de uma permutação qualquer revela uma conexão interessante entre a estrutura cíclica e o tamanho do conjunto \(Fix(\pi)\).

Vamos inventar uma notação conveniente para representarmos a estrutura cíclica de uma permutação (aceito sugestões de notações mais convenientes). Assim, o símbolo \((\pi:r:k_1,k_2,\dots,k_r)\) será usado para indicarmos que a permutação \(\pi\) se decompõe como produto de \(r\) ciclos disjuntos, cujos tamanhos são \(k_1,\dots,k_r\) (veja que devem aparecer \(r\) números \(k_i\) no símbolo então).

Lembrando que a ação de um grupo "respeita a operação do grupo" (segunda condição na definição de uma ação), podemos enxergar a ação de uma permutação qualquer, como descrita na resposta anterior, olhando para a ação consecutiva dos ciclos que aparecem na decomposição desa permutação. Seguindo o raciocínio da resposta acima, para descobrirmos o tamanho de \(|Fix(\pi)|\), basta entendermos quantas coordenadas de um elemento de \(G^n\) podemos escolher de forma que seja fixado, e isso está ligado a quais coordenadas são permutadas por ciclos.

Assim, se \(\pi\) é da forma (\(a_1 \dots a_{k_1}) \dotsm (r_1 \dots r_{k_r})\) e age sobre a n-upla (\(x_1, \dots, x_n)\), primeiramente a ação é do \(k_r\)-ciclo \((r_1 \dotsm r_{k_r})\), e se quisermos que o elemento seja fixado por tal permutação, as coordenadas permutadas deverão ser todas iguais, ou seja \(x_{r_1} = x_{r_2} = \dotsm x_{k_r}\). Posteriormente, o próximo ciclo da decomposição agirá sobre a n-upla permutando outras coordenadas distintas das que já haviam sido permutadas (pois os ciclos são disjuntos!), de forma que se quisermos que o elemento seja fixado, teremos outra cadeia de igualdades e o raciocínio segue análogo até o último ciclo da decomposição.

A ideia é que a cada ciclo da decomposição que age, temos apenas um grau de liberdade na escolha das coordenadas, pois as que são permutadas pelo ciclo devem ser todas iguais. Assim, após o primeiro ciclo agir, podemos fazer 1 escolha, mas foram permutados \(k_1\) coordenadas, restando \(n-k_1\); após o segundo ciclo agir, podemos fazer duas escolhas, mas restam \(n-k_1-k_2\) coordenadas apenas.

Concluímos então que se uma permutação tiver a estrutura \((\pi:r:k_1,k_2,\dots,k_r)\), restarão ao final da ação \(n-k_1-k_2-\dotsm-k_r\) coordenadas para escolhermos livremente, além de outras \(r\) coordenadas associadas a cada ciclo que agiu sobre a n-upla. Segue então que nesse caso \(|Fix(\pi)| = m^\left({n+r-\sum_{i=1}^{r}\limits k_i}\right)\).

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