Questão 17 da lista 4


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6 months ago by
Anonymous

Questão 17 que aborda o Teorema de Burnside. Alguém que fez poderia ajudar? Estou com dificuldades para entender e aplicar este teorema.
Sobre o exercício que o professor mostrou uma aplicação desse teorema, alguém poderia me explicar como ele encontrou a ordem do Fix?

17) Determine o número de colares de 6 pedras, onde tais pedras admitem 3 possíveis cores. (obs: dois colares são os mesmos se um pode ser obtido a partir do outro por rotação)

Grato.

Community: Algebra I-ICMC-2017

2 Answers


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6 months ago by

Primeiro você precisa escolher um conjunto para representar todos os possíveis colares, como temos 6 pedras vamos tomar 6-uplas \((a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)\), na qual cada termo representa uma pedra do colar, como cada pedra pode assumir 3 cores, podemos pensar nas cores como sendo valores em \(\mathbb{F}_3\), ou seja cada pedra pode valer 0, 1 ou 2. Assim, os colares são objetos no conjunto \(\mathbb{F}_3^6\). A ação que tomamos como "rotação de um colar" é  a ação de \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), sobre \(\mathbb{F}_3^6\), definida por

 

\[ \overline{1}.(a_1,\ldots,a_6) = (a_2,\ldots,a_6,a_1) \]

 

Então todos os colares equivalentes por rotação estarão na mesma órbita, então temos que contar o número de órbitas para obter o número de colares distintos, para isso utilizamos o lema de burnside:

\[|orbitas| = \frac{1}{\vert\mathbb{Z}_6\vert}\sum_{g\in\mathbb{Z}_6} Fix(g) \]

 

Assim, basta calcular o \(Fix(g)\) para cada um dos \(g\in\mathbb(Z)_6\). Como exemplo farei para \(g=\overline{2}\):

 

Os elementos de \(Fix(\overline{2})\) são os \((a_1,\ldots,a_6)\) tais que \(\overline{2}.(a_1,\ldots,a_6) = (a_1,\ldots,a_6)\), isso implica:

\[ (a_3, a_4, a_5, a_6, a_1, a_2) = (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6) \]

 

então temos \(a_1 = a_3 = a_5\)  e \(a_2 = a_4 = a_6\), logo os elementos de \(Fix(\overline{2})\) são os elementos de \(\mathbb(F)_3^6\) da forma \((a,b,a,b,a,b)\), então temos dois "graus de liberdade", a e b, que podem assumir 3 valores cada um, então existem \(3^2 = 9\) possibilidades, ou seja \(\vert Fix(\overline{2}) \vert = 9\).

 

Então basta repetir esse pensamento para os outros 5 elementos de \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), e calcular o somatório do Lema de Burnside.

 

Obs: Alternativamente, para calcular \(\vert Fix(\overline{2})\vert\), podemos usar a análise que foi feita na discussão das "Pizzas não equivalentes", onde concluímos que, para este tipo de problema, se existem \(m\) cores, a ordem de \(g\) é \(d\) e o total de elementos no grupo é \(n\), temos \(\vert Fix(g) \vert = m^{(n/d)}\). Para o caso do problema temos \(m=3\), a ordem de \(\overline{2}\) é 3 e o total de elementos em \(\mathbb{Z}_6\) é 6, logo temos  \(\vert Fix(\overline{2}) \vert = 3^{(6/3)} = 3^2 = 9\)

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6 months ago by

Outra forma de ver isso é a seguinte:

Se X são as pedras e Y as cores (digamos, Y = {P, B}, para preto e branco), uma coloração é na verdade uma função f: X → Y.

Agora, se |X| = n, seja s∈D2n, o grupo diedral correspondente. Deixe D2n agir sobre F, o conjunto de funções f: X → Y ( (D2n,F) → X', onde X' é o conjunto de pedras coloridas) fazendo s'(f) := fs (ou seja, você gira e reflete o colar por s, como faria com qualquer grupo diedral que acha na rua, e o colore com f).

O que nos interessa é em saber quantas órbitas essa ação provoca (pense um pouco e faça uns desenhos para se convencer disso).

Para tanto, aplique o lema do Burnside, como explicado logo acima.

Esse site tem uma explicação mais completa do lema: O lado que queima

Desculpe o estilo pobre, ainda não descobri como usar latex aqui.

 

Na verdade, o exercício pede que se use apenas rotação.. então é só restringir para esse caso.

written 6 months ago by Éricles  
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