Mínimos e máximos e coisas parecidas.


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4 months ago by
Sejam A, B ⊂ R conjuntos que admitam mínimos. Mostre que, mesmo que existam os mínimos de A e de B, pode não existir o
mínimo de A ∩ B.

Pensei na seguinte solução :
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}, notemos que min A = 1 e min B = 4, agora quando fizermos  A ∩ B, não vai ter elementos nesta intersecção.
Portanto pode não existir mínimo de A ∩ B.

Esta certo esta solução?

1 Answer


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4 months ago by
Está!

Mas aproveite e tente uma versão mais difícil: considere \(A\) e \(B\) como no seu enunciado e suponha ainda que \(A \cap B \neq \emptyset\). Mostre que mesmo assim \(A \cap B\) pode não ter mínimo.
Pergunta : Existe mínimo para o  conjunto unitário ?
written 4 months ago by Andson Nunes da Silva  
Sim, o próprio único elemento é o mínimo (e o máximo)
written 4 months ago by Leandro Aurichi  
Então como devo pensar no caso em que A∩B ≠ ∅?.
Pois por exemplo :
Seja A = { 0, 1, 2} e B = {1, 3, 4} , então A∩B = {1} , então neste caso existe mínimo.
written 4 months ago by Andson Nunes da Silva  
Neste caso específico, teria um mínimo. Teria que tentar achar outro contra-exemplo.
written 4 months ago by Leandro Aurichi  
Alguma dica para esse caso?
written 4 months ago by Andson Nunes da Silva  
Comece ao contrário: pegue um conjunto (não vazio) que você já saiba que não tem mínimo e tente fazer com que ele seja a tal da intersecção.
written 4 months ago by Leandro Aurichi  
Assim esta certo?
Seja A = { x ∈ N : 0 < x < 4 } e B = { x ∈ N : 0 < x < 6} , temos que  A∩B = { x ∈ N : 0 < x < 4 }, então mesmo que A∩B ≠ ∅ , temos que não existe mínimo para A∩B neste caso, já que 0 ∉ A∩B.
written 4 months ago by Andson Nunes da Silva  
Quase, quase...

Desse jeito, nem \(A\) nem \(B\) tem mínimo... Mas dá para arrumar: coloque um mínimo em cada (sem ser o mesmo). Daí acho que sai.
written 4 months ago by Leandro Aurichi  
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