Exercício 2.1.34


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4 months ago by
Alguma dica para o exercício 2.1.34 c)?

Ps.: A resolução desse vale dois churros.
Já tentou algo do tipo \(f(\beta)\), \(f(f(\beta))\), \(f(f(f(\beta)))\) etc?
written 4 months ago by Leandro Aurichi  

1 Answer


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4 months ago by
Se você quiser apelar: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fixed-point_lemma_for_normal_functions

A prova é simples. Sim, é frustrante.
Mas, aí, a gente precisa supor que o domínio está contido na imagem ou algo do tipo, não? Esses conjuntos/ classes que posso tomar pra domínio e imagem me confundem ainda...
written 4 months ago by Maíra Duran Baldissera  
Realmente essas coisas não estão bem definidas. Acho que é realmente pra deixar de lado a definição usual de função. Pense não como uma função, mas uma fórmula sobre ordinais. O domínio, imagem, essas coisas, você toma meio que arbitrariamente... Eu também acho estranho.
written 4 months ago by Henrique Lecco  
A ideia é que a função está definida para todos os ordinais. Dois jeitos de formalizar isso:
1 - Fórmula tipo função, que associa a cada ordinal um ordinal (seguindo o enunciado). Daí tem que argumentar a limitação como o Matheus comentou abaixo. Um exemplo de uma função que leva ordinais a ordinais seriam a função sucessor e a função que associa a cada ordinal o menor ordinal limite maior que ele (elas não satisfazem o enunciado todo, é só para dar uma ideia).
2 - Pense que a função é da forma \(f: \alpha \to \beta\) onde \(\alpha\) e \(\beta\) são ordinais "tão grandes quanto se queira". No seguinte sentido: você vai lá, faz todas as argumentações que precisa (pega supremo, sucessor etc) daí fixa \(\alpha\) e \(\beta\) depois sendo maiores que tudo isso que apareceu.
written 3 months ago by Leandro Aurichi  
Eu só não entendi uma coisa...
Como é que eu sei que a sequência construída é limitada, pra tomar o sup? Ela não pode ser ilimitada e portanto nem ser um conjunto de ordinais?

Edit: Saiu aqui pelo teorema da recursão pra boa ordem + exercício 1.2.16 (não sei se tem um jeito mais simples de ver isso).
written 4 months ago by Matheus Duzi  
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