Exercicío de sala / Questão 12: Seja G p-grupo então G é solúvel.


46
views
3
7 weeks ago by
Seja G p-grupo, ou seja, |G|=pn , então G é solúvel.

Foi começado em sala a prova por indução.
Para n=1, temos G sendo abeliano, portanto solúvel.
Depois supõe para n-1 e tenta provar para n. Entretanto nessa passagem para n tenho dificuldade. Poderia supor um grupo quociente G/H tal que seu índice é p, portanto G/H é abeliano e solúvel, e a partir daí montar a cadeia para mostrar que G é solúvel?
Community: ALGEBRA I -2018

3 Answers


3
7 weeks ago by
Oi Thaís,

Teria q provar q existe algum G/H tal que a ordem é p.

Mas na indução você tem que usar o fato q vale pra n-1 então vale para n. Ou seja, supomos o grupo G de ordem p^(n-1) é soluvel e queremos provar q para grupo G de ordem p^n é soluvel.

Note q Z(G) =! {e} e Z(G) é normal a G.
Seja g pertencente a Z(G), considere H=<g> e |H| = p, logo temos q |G/H| = p^(n-1)
Por hipotese teremos q G/H é soluvel.
Note q H é soluvel, entao por uma proposicao q o professor passou, teremos q G é Soluvel.
2
7 weeks ago by
Thaís eu encontrei uma outra demonstração que parece ser mais intuitiva (pelo menos pra mim)
Seja G tal que |G| = p^n, então por sylow 1 sabemos que existem subgrupos Gi tal q a ordem de Gi é p^i para todo i varrendo de 0 até n. Temos então uma cadeia de subgrupos (pois os p-grupos estao contido em seu sylow), e como o índice [G(i+1):Gi] = p (o menor primo que divide o G(i+1)), temos que Gi é normal em G(i+1) e ainda que esse quociente é abeliano (pois é cíclico), daí segue que G é solúvel e seus quocientes tem ordem p
Espero ter ajudado
Faz sentido! Obrigada.
written 7 weeks ago by Thaís Basso  
1
7 weeks ago by

Olá Thaís, o exercício 12 fala para provar que é supersolúvel, mas também vale que G é solúvel (já que todo cíclico é abeliano). A diferença na definição entre solúvel e supersolúvel é que o quociente Gi+1/Gi é cíclico, ao invés de abeliano.

(I) Para n=1, temos que |G|=p, considere a cadeia {e} $\bigtriangleup$ G, então  $\left|\frac{G}{\left\{e\right\}}\right|=p$|G{e} |=p , logo,  $\frac{G}{\left\{e\right\}}$G{e}  é cíclico.  $\therefore$ G é supersolúvel.

(II) Supondo válido para n-1.

Se |G| = p $^n$n então Z(G) é não trivial (equação de classes) e pelo T. de Cauchy, existe a$\in$Z(G) tal que o(a)=p. Tome G/<a>, temos |G/<a>| = p $^{n-1}$n1 , logo, por hipótese, G/<a> é supersolúvel. Então existe uma cadeia <a>=G $_0$0 /<a>  $\bigtriangleup$ G $_1$1 /<a> $\bigtriangleup$ ... $\bigtriangleup$ G $_n$n /<a> tal que  $\frac{\frac{G_{i+1}}{\left(a\right)}}{\frac{G_i}{\left(a\right)}}$Gi+1(a) Gi(a)   é cíclico.

Pelo Teorema da Correspondência segue que {e} $\bigtriangleup$ $G_0\bigtriangleup...\bigtriangleup G_{n-1}\bigtriangleup G$G0△...△Gn1G  (aqui acrescentei {e}) e pelo 3º Teorema do Isomorfismo temos que

$\frac{G_{i+1}}{G_i}\simeq$Gi+1Gi   $\frac{\frac{G_{i+1}}{\left(a\right)}}{\frac{G_i}{\left(a\right)}}$Gi+1(a) Gi(a)

que é cíclico, logo G é supersolúvel.

1
Não sabia a diferença de super e apenas solúvel. Obrigada!
written 7 weeks ago by Thaís Basso  
Please login to add an answer/comment or follow this question.

Similar posts:
Search »