Questão 13 da lista 4


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11 months ago by

Se alguém puder dar uma dica do caminho a ser tomado eu ficaria muito agradecido. =)

Seja \(G\) um grupo finito e sejam \(g_1\), \(\dots\), \(g_r\), representantes de classe de conjugação de \(G\). Mostre que se \(g_i g_j = g_j g_i\) para todo \(i, j \in G\), então \(G\) é abeliano.

Community: Algebra I-ICMC-2017

2 Answers


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11 months ago by

Aqui vao algumas dicas para abordar essa questao:

  1. Mostre que se  H  é um subgrupo próprio  de um grupo finito G, então  a união dos conjugados de H não pode dar todo o G. Lembre que o número de conjugados de H é dado por [G:N(H)].
  2. Agora, para resolver o problema da lista, façamos o seguinte:
  3. Tome  dois representantes quaisquer, digamos \(g_1\) e \(g_2\). Por hipotese, temos que \(g_2\) está no centralizador de \(g_1\), ou seja, \(g_2\in C(g_1)\).
  4. Entao, como qq elemento da classe \(cl(g_2)\) é um conjugado de \(g_2\), temos que toda a classe \(cl(g_2)\) está  numa uniã (finita) de conjugados  do centralizador \( C(g_1)\).
  5. Repetindo o mesmo argumento para \(g_3,\ldots,g_r\), concluimos que todo o grupo \(G\) é uma união (finita)
    de conjugados de \( C(g_1)\).
  6. Então, pelo item  1, \( C(g_1)\) não pode ser subgrupo próprio de  G. Ou seja \( C(g_1)=G\); ou seja,
    \(cl(g_1)=\{g_1\}\).
  7. Analogamente, todas as outras classes sao unitárias e, portanto, todos os elementos de \(G\) estâo em \(Z(G)\).
  8. Conclusão: G é Abeliano.

Obrigado pela explicação, Professor! Entendi os passos! =)

written 11 months ago by José Fernando Barbosa Boro  

Só uma dúvida no item 1.

O porquê de o número de conjugados de \(H\) ser igual a \( [G:N(H)] \) é por conta da ação por conjugação em \(X = \{ aHa^{-1} : a \in G \} \), e a ação tem uma só órbita, que é exatamente o conjunto \(X\) e então \( \text{Stab}(H) \) vai ser o normalizador, daí pela fórmula órbita-estabilizador temos o resultado, correto?

Mas agora, eu não entendi o porquê de a união dos conjugados de \(H\) não poder dar todo o \(G\). Pensei em fazer algo com a ordem de \(H\) multiplicada por \([G:N(H)]\), mas não cheguei em lugar nenhum.

written 11 months ago by Frederico Bianchini  
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Seja  \(n=[G:N(H)]\) o número de conjugados de \(H\) em \(G\).
Todos os \(n\) conjugados têm pelo menos a identidade \(``e"\) em comum.
Logo a união de todos os conjugados tem, no máximo,

\[n\cdot (|H|-1)+1<|G|\]
elementos.

written 11 months ago by Herivelto Borges  
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11 months ago by

Eu resolvi de uma forma diferente. Vou pôr os passos aqui como dica também, e depois posso dar a resolução completa de você quiser.

Seja H = <g_1, ..., g_r>. Mostremos que G=H.

1. Mostre que $G=\cup_{g\in G}gHg^{-1}$G=gGgHg1 

Use que os elementos de H são representantes das classes.

2. Note que muitos  $gHg^{-1}$gHg1 são iguais. Que se passearmos por [G:H] g's, já seria suficiente.

3. Tome um   $g\in G\backslash\left\{e\right\}$gG\{e}. Por 1,  $g\in g'Hg'^{-1}\backslash\left\{e\right\}$gg'Hg'1\{e} , para algum  $g'\in G$g'G 

4. Mostre que $\left|G\right|-1\le\left[G:H\right]\cdot\left(\left|H\right|-1\right)$|G|1[G:H]·(|H|1)  

5. Conclua que  $G=H$G=H  e  $G$G  é abeliano.

Luciano, a menos do passo 2, eu entendi sua resolução. Se puder detalhar melhor por que não precisamos percorrer por mais do que [G:H] elementos para que a reunião dê o G, eu agradeceria.

written 11 months ago by José Fernando Barbosa Boro  

Certo. É que se   $g\in G$gG  $g_i\in H$giH , então  $gHg^{-1}=\left(gg_i\right)H\left(gg_i\right)^{-1}$gHg1=(ggi)H(ggi)1 . Como isso vale pra todo  $1\le i\le r$1ir , então pra cada  $g\in G$gG eu tô unindo o mesmo grupo |H| vezes. Aí pra eliminar essas uniões desnecessárias, eu divido por H.

Se ainda ficar alguma dúvida, só falar.

written 11 months ago by Luciano Renato  

Luciano... vou ter que falar que não entendi ainda, hahaha.. se puder mandar o passo a passo dessa parte... Não estou conseguindo visualizar como que vc tá contando os elementos de G para concluir que apenas \([G:H]\) deles que importam. Eu entendi que \(gHg^{-1} = (gg_i H(gg_i)^{-1}\), mas não estou visualizando ainda do seu modo.

written 11 months ago by José Fernando Barbosa Boro  

Só noto que o

Seja H = <g_1, ..., g_r>. Mostremos que G=H.

1. Mostre que $G=\cup_{g\in G}gHg^{-1}$ G = ∪g∈G gHg^-1 => G = H

do Luciano, junto com o

1. Mostre que se  H  é um subgrupo próprio  de um grupo finito G, então  a união dos conjugados de H não pode dar todo o G. Lembre que o número de conjugados de H é dado por [G:N(H)].

do Herivelto me parecem o suficiente para o resultado.

written 11 months ago by Éricles  
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