Questão 13 da lista 4


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6 months ago by

Se alguém puder dar uma dica do caminho a ser tomado eu ficaria muito agradecido. =)

Seja \(G\) um grupo finito e sejam \(g_1\), \(\dots\), \(g_r\), representantes de classe de conjugação de \(G\). Mostre que se \(g_i g_j = g_j g_i\) para todo \(i, j \in G\), então \(G\) é abeliano.

Community: Algebra I-ICMC-2017

2 Answers


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6 months ago by

Aqui vao algumas dicas para abordar essa questao:

  1. Mostre que se  H  é um subgrupo próprio  de um grupo finito G, então  a união dos conjugados de H não pode dar todo o G. Lembre que o número de conjugados de H é dado por [G:N(H)].
  2. Agora, para resolver o problema da lista, façamos o seguinte:
  3. Tome  dois representantes quaisquer, digamos \(g_1\) e \(g_2\). Por hipotese, temos que \(g_2\) está no centralizador de \(g_1\), ou seja, \(g_2\in C(g_1)\).
  4. Entao, como qq elemento da classe \(cl(g_2)\) é um conjugado de \(g_2\), temos que toda a classe \(cl(g_2)\) está  numa uniã (finita) de conjugados  do centralizador \( C(g_1)\).
  5. Repetindo o mesmo argumento para \(g_3,\ldots,g_r\), concluimos que todo o grupo \(G\) é uma união (finita)
    de conjugados de \( C(g_1)\).
  6. Então, pelo item  1, \( C(g_1)\) não pode ser subgrupo próprio de  G. Ou seja \( C(g_1)=G\); ou seja,
    \(cl(g_1)=\{g_1\}\).
  7. Analogamente, todas as outras classes sao unitárias e, portanto, todos os elementos de \(G\) estâo em \(Z(G)\).
  8. Conclusão: G é Abeliano.

Obrigado pela explicação, Professor! Entendi os passos! =)

written 6 months ago by José Fernando Barbosa Boro  

Só uma dúvida no item 1.

O porquê de o número de conjugados de \(H\) ser igual a \( [G:N(H)] \) é por conta da ação por conjugação em \(X = \{ aHa^{-1} : a \in G \} \), e a ação tem uma só órbita, que é exatamente o conjunto \(X\) e então \( \text{Stab}(H) \) vai ser o normalizador, daí pela fórmula órbita-estabilizador temos o resultado, correto?

Mas agora, eu não entendi o porquê de a união dos conjugados de \(H\) não poder dar todo o \(G\). Pensei em fazer algo com a ordem de \(H\) multiplicada por \([G:N(H)]\), mas não cheguei em lugar nenhum.

written 6 months ago by Frederico Bianchini  
1

Seja  \(n=[G:N(H)]\) o número de conjugados de \(H\) em \(G\).
Todos os \(n\) conjugados têm pelo menos a identidade \(``e"\) em comum.
Logo a união de todos os conjugados tem, no máximo,

\[n\cdot (|H|-1)+1<|G|\]
elementos.

written 6 months ago by Herivelto Borges  
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6 months ago by

Eu resolvi de uma forma diferente. Vou pôr os passos aqui como dica também, e depois posso dar a resolução completa de você quiser.

Seja H = <g_1, ..., g_r>. Mostremos que G=H.

1. Mostre que $G=\cup_{g\in G}gHg^{-1}$G=gGgHg1 

Use que os elementos de H são representantes das classes.

2. Note que muitos  $gHg^{-1}$gHg1 são iguais. Que se passearmos por [G:H] g's, já seria suficiente.

3. Tome um   $g\in G\backslash\left\{e\right\}$gG\{e}. Por 1,  $g\in g'Hg'^{-1}\backslash\left\{e\right\}$gg'Hg'1\{e} , para algum  $g'\in G$g'G 

4. Mostre que $\left|G\right|-1\le\left[G:H\right]\cdot\left(\left|H\right|-1\right)$|G|1[G:H]·(|H|1)  

5. Conclua que  $G=H$G=H  e  $G$G  é abeliano.

Luciano, a menos do passo 2, eu entendi sua resolução. Se puder detalhar melhor por que não precisamos percorrer por mais do que [G:H] elementos para que a reunião dê o G, eu agradeceria.

written 6 months ago by José Fernando Barbosa Boro  

Certo. É que se   $g\in G$gG  $g_i\in H$giH , então  $gHg^{-1}=\left(gg_i\right)H\left(gg_i\right)^{-1}$gHg1=(ggi)H(ggi)1 . Como isso vale pra todo  $1\le i\le r$1ir , então pra cada  $g\in G$gG eu tô unindo o mesmo grupo |H| vezes. Aí pra eliminar essas uniões desnecessárias, eu divido por H.

Se ainda ficar alguma dúvida, só falar.

written 6 months ago by Luciano Renato  

Luciano... vou ter que falar que não entendi ainda, hahaha.. se puder mandar o passo a passo dessa parte... Não estou conseguindo visualizar como que vc tá contando os elementos de G para concluir que apenas \([G:H]\) deles que importam. Eu entendi que \(gHg^{-1} = (gg_i H(gg_i)^{-1}\), mas não estou visualizando ainda do seu modo.

written 6 months ago by José Fernando Barbosa Boro  

Só noto que o

Seja H = <g_1, ..., g_r>. Mostremos que G=H.

1. Mostre que $G=\cup_{g\in G}gHg^{-1}$ G = ∪g∈G gHg^-1 => G = H

do Luciano, junto com o

1. Mostre que se  H  é um subgrupo próprio  de um grupo finito G, então  a união dos conjugados de H não pode dar todo o G. Lembre que o número de conjugados de H é dado por [G:N(H)].

do Herivelto me parecem o suficiente para o resultado.

written 5 months ago by Éricles  
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