Dúvida sobre poset


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14 months ago by

Se P é um poset, temos que "todo conjunto não vazio limitado superiormente admite sup em P" é equivalente à "todo conjunto não vazio limitado inferiormente admite inf em P".

Minha dúvida é: "todo conjunto não vazio limitado superiormente admite majorante minimal em P" é também equivalente a "todo conjunto não vazio limitado inferiormente admite minorante maximal em P"? Se não for, qual o contra-exemplo?

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obs. 1: vc precisa supor que os conjuntos limitados são não vazios, se não dá errado, por ex: considere o conjunto dos naturais, é verdade que todo conjunto limitado superiormente admite sup, porém o vazio é limitado inferiormente e não possui inf, já que o conjunto das cotas inferiores é o próprio conjunto dos naturais e ele não possui maior elemento. 

obs. 2: a primeira proposição vale não só para poset mas para pré-ordem ou uma relação qualquer, sendo que não precisa nem supor que os conjuntos são limitados e não vazios: é verdade que "todo conjunto admite sup" é equivalente a "todo conjunto admite inf". Quando vc coloca a hipótese de ser limitado de um lado, aparece a hipótese de ser não vazio no outro. 

obs. 3: a primeira observação já fornece um contra-exemplo. Resta considerar agora se há equivalência entre "todo conjunto não vazio limitado superiormente admite majorante minimal" e "todo conjunto não vazio limitado inferiormente admite minorante maximal". 

written 14 months ago by Pedro Pimenta  

Verdade! Editei a dúvida com o "não vazio" nas proposições.

written 14 months ago by Matheus Duzi  

Você está fazendo distinção entre "mínimo" e "minimal", isso?

written 14 months ago by Renan Maneli Mezabarba  
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Isso! O majorante minimal, por exemplo, não precisa ser comparável com os outros majorantes, só com os elementos do conjunto.

written 14 months ago by Matheus Duzi  
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Eu estava tentando adaptar a demonstração que encontrei aqui: https://math.stackexchange.com/questions/65859

Porém, na hora de mostrar que o "candidato" natural a minorante maximal de um conjunto limitado inferiormente $A$ é de fato minorante, eu precisaria que ele fosse o elemento mínimo de um certo conjunto, e não somente um minimal - a saber, o candidato seria o majorante maximal do conjunto dos minorantes de $A$.

Ainda assim, acho que se em vez de ordem parcial você estiver numa ordem total, então a coisa deveria funcionar.

written 14 months ago by Renan Maneli Mezabarba  

2 Answers


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14 months ago by

Tente esse exemplo:


Divida os reais em dois pedaços: [0,\infty) e (-\infty,0) e, entre os dois, inclua pelo menos dois pontos extras não relacionáveis. Esses pontos serão limitados superiormente e inferiormente, terão majorante minimal mas não minorante maximal

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Tomei a liberdade de corrigir um typo e de acrescentar uma imagem (achei que estava um pouco "enigmática" a mensagem anterior).

Mas parece correta, não?

written 14 months ago by Leandro Aurichi  

Parece que funciona mesmo

written 14 months ago by Renan Maneli Mezabarba  

Eu não entendi pq isso funciona; se \( \{ p_1 , p_2 \} \) é o conjunto dois pontos que foram adicionados, o conjunto dos minorantes será \( (-\infty , 0) \cup \{ p_1 , p_2\} \) (se eu entendi bem como é definida essa ordem), e tanto \( p_1 \) quanto \( p_2 \) são maximais apesar de não serem máximos. Ou estou errado? 

obs: como usar ctrl c ctrl v aqui sem a fonte ficar pequena? 

written 14 months ago by Pedro Pimenta  

Ahh, já vi onde está meu erro: os minorantes devem minorar todo mundo, então é só o intervalo mesmo (que não possui maximal). Estou convencido de que o exemplo funciona. (obs: a dúvida sobre o ctrl v ainda persiste) 

written 14 months ago by Pedro Pimenta  

Perfeito. Muito obrigado!

written 14 months ago by Matheus Duzi  
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14 months ago by

Por "completude", o que tentei fazer foi o seguinte.

Suponha que um poset \((P,\leq)\) seja tal que todo conjunto não-vazio limitado superiormente admita um majorante minimal. Gostaríamos de provar que todo subconjunto não-vazio limitado inferiormente admite um minorante maximal.

O truque é clássico. Se \(A\ne\emptyset\) é limitado inferiormente, então conjunto \(B=\{b\in P:b\) minora \(A\}\) é não vazio. O fato de \(A\) ser não vazio garante que \(B\) é limitado superiormente, e daí a hipótese sobre \(P\) nos dá um majorante maximal \(\beta\in P\) para \(B\).

No caso clássico em que \(\beta\) é um majorante mínimo de \(B\), provaríamos que ele é um minorante máximo de \(A\) trivialmente: como um elemento arbitrário \(a\) de \(A\) majora \(B\), seguiria da minimalidade de \(\beta\) que \(\beta\leq a\), mostrando que de fato \(\beta\) é um minorante; sua maximalidade segue do fato de \(\beta\) ser majorante de \(B\).

Contudo, no caso em questão, como \(\beta\) é somente um majorante minimal de \(B\), não conseguimos (pelo menos eu não consigo) concluir que \(\beta\) é um minorante: um elemento arbitrário \(a\) de \(A\) majora \(B\), logo não é verdade que \(a\leq \beta\), i.e., \(a\not{\!\!\leq}\beta\) (pois \(\beta\) é minimal). Mas isso não é suficiente para concluir \(\beta\leq a\).

Porém, se adicionalmente a ordem \((P,\leq)\) for total, então a condição \(a\not{\!\!\leq}\beta\) obriga que \(\beta\leq a\) seja verdadeiro, por conta da tricotomia.

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EU cheguei no mesmo ponto que você, estou pensando em como construir um contra-exemplo explícito pra isso. 

written 14 months ago by Pedro Pimenta  

O engraçado é que eu cheguei a esta dúvida tentando demonstrar a segunda proposição no lugar da primeira (porque tinha me esquecido da definição de sup e inf) e acabava chegando no mesmo problema que vocês!

Me parece que não há porque a segunda ser verdadeira, mas não consigo pensar em nenhum contra-exemplo...

written 14 months ago by Matheus Duzi  
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