Dúvida sobre poset


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7 months ago by

Se P é um poset, temos que "todo conjunto não vazio limitado superiormente admite sup em P" é equivalente à "todo conjunto não vazio limitado inferiormente admite inf em P".

Minha dúvida é: "todo conjunto não vazio limitado superiormente admite majorante minimal em P" é também equivalente a "todo conjunto não vazio limitado inferiormente admite minorante maximal em P"? Se não for, qual o contra-exemplo?

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obs. 1: vc precisa supor que os conjuntos limitados são não vazios, se não dá errado, por ex: considere o conjunto dos naturais, é verdade que todo conjunto limitado superiormente admite sup, porém o vazio é limitado inferiormente e não possui inf, já que o conjunto das cotas inferiores é o próprio conjunto dos naturais e ele não possui maior elemento. 

obs. 2: a primeira proposição vale não só para poset mas para pré-ordem ou uma relação qualquer, sendo que não precisa nem supor que os conjuntos são limitados e não vazios: é verdade que "todo conjunto admite sup" é equivalente a "todo conjunto admite inf". Quando vc coloca a hipótese de ser limitado de um lado, aparece a hipótese de ser não vazio no outro. 

obs. 3: a primeira observação já fornece um contra-exemplo. Resta considerar agora se há equivalência entre "todo conjunto não vazio limitado superiormente admite majorante minimal" e "todo conjunto não vazio limitado inferiormente admite minorante maximal". 

written 7 months ago by Pedro Pimenta  

Verdade! Editei a dúvida com o "não vazio" nas proposições.

written 7 months ago by Matheus Duzi  

Você está fazendo distinção entre "mínimo" e "minimal", isso?

written 7 months ago by Renan Maneli Mezabarba  
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Isso! O majorante minimal, por exemplo, não precisa ser comparável com os outros majorantes, só com os elementos do conjunto.

written 7 months ago by Matheus Duzi  
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Eu estava tentando adaptar a demonstração que encontrei aqui: https://math.stackexchange.com/questions/65859

Porém, na hora de mostrar que o "candidato" natural a minorante maximal de um conjunto limitado inferiormente $A$ é de fato minorante, eu precisaria que ele fosse o elemento mínimo de um certo conjunto, e não somente um minimal - a saber, o candidato seria o majorante maximal do conjunto dos minorantes de $A$.

Ainda assim, acho que se em vez de ordem parcial você estiver numa ordem total, então a coisa deveria funcionar.

written 7 months ago by Renan Maneli Mezabarba  

2 Answers


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7 months ago by

Tente esse exemplo:


Divida os reais em dois pedaços: [0,\infty) e (-\infty,0) e, entre os dois, inclua pelo menos dois pontos extras não relacionáveis. Esses pontos serão limitados superiormente e inferiormente, terão majorante minimal mas não minorante maximal

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Tomei a liberdade de corrigir um typo e de acrescentar uma imagem (achei que estava um pouco "enigmática" a mensagem anterior).

Mas parece correta, não?

written 7 months ago by Leandro Aurichi  

Parece que funciona mesmo

written 7 months ago by Renan Maneli Mezabarba  

Eu não entendi pq isso funciona; se \( \{ p_1 , p_2 \} \) é o conjunto dois pontos que foram adicionados, o conjunto dos minorantes será \( (-\infty , 0) \cup \{ p_1 , p_2\} \) (se eu entendi bem como é definida essa ordem), e tanto \( p_1 \) quanto \( p_2 \) são maximais apesar de não serem máximos. Ou estou errado? 

obs: como usar ctrl c ctrl v aqui sem a fonte ficar pequena? 

written 7 months ago by Pedro Pimenta  

Ahh, já vi onde está meu erro: os minorantes devem minorar todo mundo, então é só o intervalo mesmo (que não possui maximal). Estou convencido de que o exemplo funciona. (obs: a dúvida sobre o ctrl v ainda persiste) 

written 7 months ago by Pedro Pimenta  

Perfeito. Muito obrigado!

written 7 months ago by Matheus Duzi  
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7 months ago by

Por "completude", o que tentei fazer foi o seguinte.

Suponha que um poset \((P,\leq)\) seja tal que todo conjunto não-vazio limitado superiormente admita um majorante minimal. Gostaríamos de provar que todo subconjunto não-vazio limitado inferiormente admite um minorante maximal.

O truque é clássico. Se \(A\ne\emptyset\) é limitado inferiormente, então conjunto \(B=\{b\in P:b\) minora \(A\}\) é não vazio. O fato de \(A\) ser não vazio garante que \(B\) é limitado superiormente, e daí a hipótese sobre \(P\) nos dá um majorante maximal \(\beta\in P\) para \(B\).

No caso clássico em que \(\beta\) é um majorante mínimo de \(B\), provaríamos que ele é um minorante máximo de \(A\) trivialmente: como um elemento arbitrário \(a\) de \(A\) majora \(B\), seguiria da minimalidade de \(\beta\) que \(\beta\leq a\), mostrando que de fato \(\beta\) é um minorante; sua maximalidade segue do fato de \(\beta\) ser majorante de \(B\).

Contudo, no caso em questão, como \(\beta\) é somente um majorante minimal de \(B\), não conseguimos (pelo menos eu não consigo) concluir que \(\beta\) é um minorante: um elemento arbitrário \(a\) de \(A\) majora \(B\), logo não é verdade que \(a\leq \beta\), i.e., \(a\not{\!\!\leq}\beta\) (pois \(\beta\) é minimal). Mas isso não é suficiente para concluir \(\beta\leq a\).

Porém, se adicionalmente a ordem \((P,\leq)\) for total, então a condição \(a\not{\!\!\leq}\beta\) obriga que \(\beta\leq a\) seja verdadeiro, por conta da tricotomia.

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EU cheguei no mesmo ponto que você, estou pensando em como construir um contra-exemplo explícito pra isso. 

written 7 months ago by Pedro Pimenta  

O engraçado é que eu cheguei a esta dúvida tentando demonstrar a segunda proposição no lugar da primeira (porque tinha me esquecido da definição de sup e inf) e acabava chegando no mesmo problema que vocês!

Me parece que não há porque a segunda ser verdadeira, mas não consigo pensar em nenhum contra-exemplo...

written 7 months ago by Matheus Duzi  
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